ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП это:

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП

- метод решения краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными сведением их к вариационным задачам отыскания минимумов нек-рых функционалов в определенных классах функций. В узком смысле Д. п. означает решение 1-й краевой задачи

(1)

в области Gс границей дG для уравнения Лапласа

(2)

сведением ее к отысканию минимума Дирихле интеграла

в классе функций, удовлетворяющих условию

(3)

и условию (1) (см. Дирихле вариационная задача). Д. п. возник и получил широкое распространение в нач. 19 в. Он применялся как с чисто теоретическими целями для доказательства существования и единственности решений краевых задач, так и при решении практически важных задач. Наиболее четкая и полная формулировка Д. п. для класса функций непрерывных вместе со своими частными производными, по-видимому, была дана в лекциях П. Дирихле (P. Dirichlet), опубликованных в 1876 одним из его учеников. Доказательства, данные Дирихле, были неполны, в частности, у него даже не ставился вопрос о необходимости доказательства существования минимума рассматриваемого функционала в классе допустимых функций, т. е. функций, удовлетворяющих условиям (1) и (3). В конце 60-х гг. 19 в. Д. п. был подвергнут критике К. Вейерштрассом (К. Weierstrass), показавшим на примере, что дифференциальная краевая задача (1), (2) при некрой граничной непрерывной функции j может иметь решение, а соответствующая вариационная задача - нет, за счет того, что в этом случае интеграл Дирихле для решения задачи (1), (2) обращается в бесконечность. Обосновать Д. п. в предположении, что существует хоть одна допустимая функция, удалось лишь Д. Гильберту (D. Hilbert) на рубеже 19 и 20 вв. Дальнейшее существенное развитие Д. п. содержится в работах С. Л. Соболева, показавшего, что всякая функция, определенная на "-мерной области и имеющая в ней обобщенные частные производные достаточно высокого порядка, принадлежащие пространству Lp,принимает на всяком достаточно гладком m-мерном многообразии, естественные устойчивые граничные значения. Это позволило С. Л. Соболеву сформулировать и обосновать Д. п. для полигармонпч. уравнения, причем и в случае, когда граница области состояла из многообразий различной размерности.

Возникновение Д. п. явилось существенным этапом в развитии теории краевых задач уравнений с частными производными, так как оно означало создание принципиально новой точки зрения на эту теорию. Д. п. и его всевозможные модификации, основанные, в конце концов, на сведении рассматриваемой задачи к той или иной вариационной задаче, получили широкое распространение как в различных разделах самой математики, так и в ее приложениях. Это связано с тем, что этот метод позволяет как доказывать общие теоремы о решениях уравнений, так и получать их конкретные решения в виде пределов так наз. минимизирующих последовательностей (т. е. последовательностей допустимых функций, значения минимизирующего функционала на к-рых стремятся к его минимуму), при этом численные методы, основанные на построении минимизирующих последовательностей, удобны для отыскания приближенных решений на ЭВМ.

Л. Д. Кудрявцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП" в других словарях:

  • Дирихле принцип — 9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9 7=2 клетки свободны Принцип Дирихле утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении… …   Википедия

  • Дирихле принцип — (по имени П. Г. Л. Дирихле)         1) принцип ящиков предложение, утверждающее, что в случае m > n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадёт не менее двух предметов. Это чрезвычайно простое… …   Большая советская энциклопедия

  • ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП — ящиков утверждение, согласно к рому в любой совокупности из пмножеств, содержащих в общей сложности более пэлементов, есть хотя бы одно множество, содержащее не менее двух элементов. Наиболее популярная форма Д. п.: если в п ящиках лежит n+1… …   Математическая энциклопедия

  • Дирихле Петер Густав Лежён — Дирихле (Dirichlet) Петер Густав Лежён (13.2.1805, Дюрен, ‒ 5.5.1859, Гёттинген), немецкий математик. В 1831‒1855 профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды в области теории чисел и математического анализа. Д.… …   Большая советская энциклопедия

  • Принцип Дирихле (комбинаторика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Принцип Дирихле. 9 клеток содержат 7 голубей, по принципу Дирихле хотя бы одна клетка содержит не больше 7/9 голубя (т.е ноль) …   Википедия

  • Принцип Дирихле — Принцип Дирихле: один из принципов, сформулированных немецким математиком Дирихле. Принцип Дирихле (комбинаторика) комбинаторный принцип. Принцип Дирихле (математическая физика) метод решения краевых задач для эллиптических уравнений с частными… …   Википедия

  • Принцип дирихле — 9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9 7=2 клетки свободны Принцип Дирихле утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении… …   Википедия

  • Принцип ящиков Дирихле — 9 клеток вмещают 7 голубей, значит, хотя бы 9 7=2 клетки свободны Принцип Дирихле утверждение, сформулированное немецким математиком Дирихле. Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении… …   Википедия

  • ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА — 1) Д. т. в теории диофантовых приближений: для любого действительного числа а и натурального Qсуществуют целые о и q, удовлетворяющие условию Дирихле принцип ящиков позволяет доказать и более общую теорему: для любых действительных чисел a1 …   Математическая энциклопедия

  • Дирихле интеграл — (по имени П. Г. Л. Дирихле)         название интегралов нескольких типов.          1) Интеграл                  Этот Д. и. называется также разрывным множителем Дирихле и равен π/2 при β < α, π/4 при β = α и 0 при β > α. Таким образом, Д. и. (1)… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»