ДИРИХЛЕ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА это:

ДИРИХЛЕ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

- задача отыскания минимума Дирихле интеграла

при заданных граничных условиях u| дG=j, где функция j задана на границе дG га-мерной области G. Решение этой задачи является и решением первой краевой задачи для уравнения Лапласа:

Д. в. з.- первая задача на минимизацию функционала, к к-рой было сведено решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными.

Д. в. з. естественно рассматривать в классе функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом. В случае ограниченной области это множество функций совпадает с Соболева пространством и потому обладает свойством полноты в соответствующей метрике. Кроме того, каждая функция этого пространства имеет на дG граничные значения в смысле сходимости почти всюду, к-рые в случае достаточной гладкости границы совпадают с граничными значениями в смысле сходимости в среднем или в смысле предела граничных значений непрерывных в замкнутой области функций, аппроксимирующих в метрике пространства заданную функцию. Если G- ограниченная область и если существует хоть одна функция и, для к-рой (такие функции наз. допустимыми), то решение u0 Д. в. з. существует и единственно. Это решение и 0 является гармонической в G функцией (см. Дирихле принцип). Если граница дG области G гладкая, то для того чтобы класс допустимых функций был не пуст, необходимо и достаточно, чтобы Решение и 0 Д. в. з. может быть найдено прямым вариационным методом. Эти результаты обобщаются как на случай квадратичных эллиптич. функционалов, содержащих производные высших порядков, так и на случай неограниченных областей.

Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 2, 2 изд., М.- Л., 1951; [2] Соболеве. Л., Некоторые применения функционального анализа к математической физике, Новосиб., 1962; [3] Никольский С. М., "Матем. сб.", 1954, т. 35, № 2, с. 247-66; [4] Кудрявцев Л. Д., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1959, т. 55, с. 1 -181.

Л. Д. Кудрявцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИРИХЛЕ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА" в других словарях:

  • ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП — метод решения краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными сведением их к вариационным задачам отыскания минимумов нек рых функционалов в определенных классах функций. В узком смысле Д. п. означает решение 1 й краевой задачи (1)… …   Математическая энциклопедия

  • РАЗНОСТНАЯ ВАРИАЦИОННАЯ СХЕМА — разностная схема, построенная на основе вариационной задачи, соответствующей краевой задаче для дифференциального уравнения. Основная идея построения Р. в. с. состоит в том, чтобы при специальном выборе координатных функций в Ритца методе… …   Математическая энциклопедия

  • Сетка (расчетная) — Функция одной переменной Ф, заданная на структурированной сетке {xk} Расчетная (вычислительная) сетка совокупность точек (сеточных уз …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с коммутативными кольцами: алгебраические многообразия и их различные обобщения ( схемы, алгебраические пространства и др.). В наивной формулировке предмет А. г. составляет изучение… …   Математическая энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы приближенного отыскания решений дифференциальных уравнений с частными производными эллиптич. типа. Среди различных классов задач, к рые ставятся для Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и задачи с… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»