ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО это:

ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО

- множество состоящее из упорядоченных наборов из пцелых (целых неотрицательных, целых положительных) чисел, для к-рого можно указать диофантово уравнение

зависящее от ппараметров а 1, ..., а п, допустимыми значениями к-рых являются целые (соответственно целые неотрицательные или целые положительные), числа, и разрешимое относительно х 1, ..., xl тогда и только тогда, когда Здесь несущественно, понимается ли под разрешимостью существование решения в целых, целых неотрицательных или целых положительных числах, поскольку уравнение (*) разрешимо в целых (целых неотрицательных, целых положительных) числах тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых положительных числах (соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых неотрицательных числах, или соответственно тогда и только тогда, когда уравнение

разрешимо в целых числах, ибо по теореме Лагранжа каждое целое неотрицательное число представимо в виде суммы четырех квадратов).

Для любого Д. м. можно указать соответствующее уравнение (*), в к-ром степень многочлена Рне больше 4 (это достигается ценой увеличения числа неизвестных). Для каждого Д. м. целых неотрицательных чисел, помимо уравнения общего вида (*), можно указать уравнение вида Р( х 1,..., xl) = а 1; иными словами, каждое Д. м. целых неотрицательных чисел является множеством всех неотрицательных значений, принимаемых некоторым многочленом с целочисленными коэффициентами при произвольных значениях переменных. В качестве Рвсегда можно взять многочлен степени не выше 5, если допустимыми значениями переменных являются целые неотрицательные или целые положительные числа, и многочлен степени не выше 6, если переменные принимают произвольные целочисленные значения.

Класс Д. м. замкнут относительно операций перестановки и отождествления аргументов, объединения, пересечения, прямого произведения и проектирования (проекцией множества состоящего из упорядоченных наборов из п чисел, наз. множество

а также относительно операции, ставящей множеству в соответствие множество

Класс Д. м. совпадает с классом перечислимых множеств (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и все результаты о перечислимых множествах переносятся на Д. м. В частности, из теоремы о существовании универсального перечислимого множества следует, что существует такое число l, что для каждого псуществует многочлен Un(a1, . . ., а п, т, х 1, . .., х l )с целочисленными коэффициентами, универсальный в следующем смысле: для каждого диофантова (перечислимого) множества свстоящего из упорядоченных наборов из пчисел, можно указать такое значение параметра т(номер множества ), что уравнение

разрешимо относительно х 1, ..., xl тогда и только тогда, когда Существуют многочлены, универсальные в других смыслах (см., напр., [1]).

Диофантовыми являются многие интересные с теоретико-числовой точки зрения множества, напр, множество всех простых чисел, множество всех совершенных чисел, множество всех тех п, для к-рых разрешимо уравнение Ферма

Доказательство теоремы о том, что перечислпмые множества диофантовы, является эффективным, т. е. для стандартно заданного перечислимого множества можно явно указать соответствующее диофантово уравнение. Этот универсальный метод, не использующий специфики рассматриваемых множеств, приводит к довольно громоздким многочленам, однако для нек-рых конкретных множеств удается найти их сравнительно простые диофантовы представления, опираясь, кроме перечислимости, на другие свойства этих множеств. Можно рассматривать и называть диофантовыми множества, представимые как множества всех тех упорядоченных наборов из пэлементов нек-рого кольца K, для к-рых в этом кольце разрешимо относительно х 1 , ..., xl уравнение вида (*), где Р - многочлен либо с целочисленными коэффициентами, либо с коэффициентами из К.

Лит.:[1] Матиясевич Ю. В., "Успехи матем. наук", 1972, т. 27, в. 5, с. 185-222.

Ю. В. Матиясевич.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИОФАНТОВО МНОЖЕСТВО" в других словарях:

  • Диофантово уравнение — это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры …   Википедия

  • Перечислимое множество — Не следует путать с счётным множеством. В теории множеств, теории алгоритмов и математической логике, перечислимое множество (эффективно перечислимое, рекурсивно перечислимое, полуразрешимое множество[1])  множество конструктивных объектов… …   Википедия

  • Список статей по математической логике —   Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не ус …   Википедия

  • ТУЭ МЕТОД — метод в теории диофантовых приближений, созданный А. Туэ [1] в связи с проблемой приближения алгебраич. чисел рациональными числами: найти величину v=v(n), при к рой для каждого алгебраич. числа степени n неравенство (1) имеет коночное число… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕЛЛЯ УРАВНЕНИЕ — диофантово уравнение вида (1) а также более общее уравнение (2) где натуральное, иррациональное число, с целое, неизвестные хи у целые числа. Если Ps/Qs, s=0,1,2,..., подходящие дроби разложения в цепную дробь с периодом k, то положительные… …   Математическая энциклопедия

  • Десятая проблема Гильберта — Десятая проблема Гильберта  одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода целочисленного решения произвольного алгебраического …   Википедия

  • Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел  это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… …   Википедия

  • ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИИ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ — проблема отыскания алгоритма для распознавания по любому диофантову уравнению, имеет ли оно решение. Существенным в постановке проблемы является требование найти универсальный метод, к рый должен быть пригоден для любого уравнения (все известные… …   Математическая энциклопедия

  • Диофантовы и лиувиллевы числа — В математике, иррациональное число x называется диофантовым[источник не указан 305 дней], если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя: В противном случае, число… …   Википедия

  • Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»