ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ

на многообразии- наиболее изученный случай общего понятия действия группы на пространстве. Топологич. группа Gдействует на пространстве X, если каждому поставлен в соответствие гомеоморфизм j_g пространства X(на себя), удовлетворяющий условиям: 1) j_gj_h =j_gh;.2) для единицы отображение j_e есть тождественный гомеоморфизм; 3) отображение j: j(g, x) =j_g(x). непрерывно. В случае, когда Xи Gобладают дополнительными структурами, особый интерес представляют Д. г. G, учитывающие эти структуры; напр., если X- дифференцируемое многообразие, G- группа Ли, то отображение j обычно предполагается дифференцируемым.

Множество {j_g(x₀)}_{g ОG} наз. орбитой (траекторией) точки относительно группы G;пространство орбит обозначается X/G и наз. также факторпространством пространства X п о группе G. Важным примером является случай, когда Xесть группа Ли, а d- ее подгруппа; тогда X/G есть соответствующее однородное пространство. Классические примеры: сферы S^n-1=O(n)/O(n-1), Грассмана многообразия Штифеля многообразия О (п)/О (т).

Здесь пространство орбит есть многообразие. Обычно же это не так, если действие группы не является свободным, напр., если множество Х ^G неподвижных точек непусто. При этом под свободным действием группы понимается действие, при к-ром из gx=x,следует g=e. В противоположность этому, X^G будет многообразием, если X - дифференцируемое многообразие, а действие группы Gдифференцируемо; это утверждение верно и для когомологич. многообразий над Z _р для G=Z_p (теорема Смита).

Если G- некомпактная группа, то пространство X/G, вообще говоря, неотделимо, и поэтому интерес представляет индивидуальное изучение траекторий и их взаимного расположения. Классическим является пример группы G=R действительных чисел, действующей дифференцируемым образом на дифференцируемом многообразии X. Изучение таких динамич. систем, эквивалентных заданию систем обыкновенных дифференциальных уравнений в локальных координатах, проводится в основном аналитич. методами.

В случае компактной группы Gсуществует предположение, что если X- многообразие, а каждое g неравно eдействует на Xнетривиально (т. е. не является действием по закону ), то Gесть группа Ли (см. [8]). Поэтому интерес к случаю действия компактной группы концентрируется вокруг действия группы Ли.

Пусть G- компактная группа Ли, X- компактное когомологич. многообразие. Типичными являются следующие результаты. В Xсуществует конечное число типов орбит, окрестности орбиты устроены как прямое произведение (теорема о срезе), имеют место представляющие интерес связи между когомологич. строением пространств X, X/G, Х ^G.

Если G- компактная группа Ли, X- дифференцируемое многообразие, а действие дифференцируемо, то естественным является отношение эквивалентности: найдутся такие (X",j"), что граница дХ" имеет вид и что j"|Х =j, j"|Х' =j'. В случае свободного действия группы Gклассы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с бордизмамиW_*(B_G) классифицирующего пространства B_G.

Результаты последних лет (сер. 70-х гг.) концентрируются в основном вокруг: 1) определения типов орбит при различных дополнительных предположениях о группе Gи многообразии X(см., напр., [6]), 2) классификации Д. г., 3) отыскания связей между глобальными инвариантами многообразия Xи локальными свойствами Д. г. Gв окрестности неподвижных точек Х ^G. В решении этих вопросов важную роль играют методы современной дифференциальной топологии (напр., перестройки), аналог K-теории для векторных G-pacслоений - K_G -теория [1], теории бордизмов и кобордизмов [3], аналитнч. метод исследования Д. т. G, основанный на изучении псевдодифференциальных операторов в G-расслоениях (см. [2], [7]).

Лит.:[1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Атья М., Зингер И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, № 1, с. 127-82; [3] Бухштабер В. М., Мищенко А. <С, Новикове. П., "Успехи матем. наук" ,1971, т. 26, в. 2, с. 131 - 54; [4] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ.. М., 1969; [5] Вrеdоn G., Introduction to Compact Transfo: mation Groups, N. Y., 1972; [6] Wu Yi Hsiang, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, N. Y., 1975; [7] Zagierdоn В., Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to orbit Spaces, 1972; [81 Proceedings of the Conference in Transformation Groups, N. Y. - Hdlb. -L., 1968: [9] Proceedings of the Second Conference on Compact Transfoimation Groups, В.-Hdlb.-N. Y., 1972.

А. В. Зарелуа.