ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ это:

ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ

на многообразии- наиболее изученный случай общего понятия действия группы на пространстве. Топологич. группа Gдействует на пространстве X, если каждому поставлен в соответствие гомеоморфизм jg пространства X(на себя), удовлетворяющий условиям: 1) jgjh =jgh;.2) для единицы отображение je есть тождественный гомеоморфизм; 3) отображение j: j(g, x) =jg(x). непрерывно. В случае, когда Xи Gобладают дополнительными структурами, особый интерес представляют Д. г. G, учитывающие эти структуры; напр., если X- дифференцируемое многообразие, G- группа Ли, то отображение j обычно предполагается дифференцируемым.

Множество {jg(x0)}g ОG наз. орбитой (траекторией) точки относительно группы G;пространство орбит обозначается X/G и наз. также факторпространством пространства X п о группе G. Важным примером является случай, когда Xесть группа Ли, а d- ее подгруппа; тогда X/G есть соответствующее однородное пространство. Классические примеры: сферы Sn-1=O(n)/O(n-1), Грассмана многообразия Штифеля многообразия О (п) (т).

Здесь пространство орбит есть многообразие. Обычно же это не так, если действие группы не является свободным, напр., если множество Х G неподвижных точек непусто. При этом под свободным действием группы понимается действие, при к-ром из gx=x,следует g=e. В противоположность этому, XG будет многообразием, если X - дифференцируемое многообразие, а действие группы Gдифференцируемо; это утверждение верно и для когомологич. многообразий над Z р для G=Zp (теорема Смита).

Если G- некомпактная группа, то пространство X/G, вообще говоря, неотделимо, и поэтому интерес представляет индивидуальное изучение траекторий и их взаимного расположения. Классическим является пример группы G=R действительных чисел, действующей дифференцируемым образом на дифференцируемом многообразии X. Изучение таких динамич. систем, эквивалентных заданию систем обыкновенных дифференциальных уравнений в локальных координатах, проводится в основном аналитич. методами.

В случае компактной группы Gсуществует предположение, что если X- многообразие, а каждое g неравно eдействует на Xнетривиально (т. е. не является действием по закону ), то Gесть группа Ли (см. [8]). Поэтому интерес к случаю действия компактной группы концентрируется вокруг действия группы Ли.

Пусть G- компактная группа Ли, X- компактное когомологич. многообразие. Типичными являются следующие результаты. В Xсуществует конечное число типов орбит, окрестности орбиты устроены как прямое произведение (теорема о срезе), имеют место представляющие интерес связи между когомологич. строением пространств X, X/G, Х G.

Если G- компактная группа Ли, X- дифференцируемое многообразие, а действие дифференцируемо, то естественным является отношение эквивалентности: найдутся такие (X",j"), что граница дХ" имеет вид и что j"|Х =j, j"|Х' =j'. В случае свободного действия группы Gклассы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с бордизмамиW*(BG) классифицирующего пространства BG.

Результаты последних лет (сер. 70-х гг.) концентрируются в основном вокруг: 1) определения типов орбит при различных дополнительных предположениях о группе Gи многообразии X(см., напр., [6]), 2) классификации Д. г., 3) отыскания связей между глобальными инвариантами многообразия Xи локальными свойствами Д. г. Gв окрестности неподвижных точек Х G. В решении этих вопросов важную роль играют методы современной дифференциальной топологии (напр., перестройки), аналог K-теории для векторных G-pacслоений - KG -теория [1], теории бордизмов и кобордизмов [3], аналитнч. метод исследования Д. т. G, основанный на изучении псевдодифференциальных операторов в G-расслоениях (см. [2], [7]).

Лит.:[1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Атья М., Зингер И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, № 1, с. 127-82; [3] Бухштабер В. М., Мищенко А. <С, Новикове. П., "Успехи матем. наук" ,1971, т. 26, в. 2, с. 131 - 54; [4] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ.. М., 1969; [5] Вrеdоn G., Introduction to Compact Transfo: mation Groups, N. Y., 1972; [6] Wu Yi Hsiang, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, N. Y., 1975; [7] Zagierdоn В., Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to orbit Spaces, 1972; [81 Proceedings of the Conference in Transformation Groups, N. Y. - Hdlb. -L., 1968: [9] Proceedings of the Second Conference on Compact Transfoimation Groups, В.-Hdlb.-N. Y., 1972.

А. В. Зарелуа.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ" в других словарях:

  • Действие группы — Вращения на углы кратные 120° вокруг центра равностороннего треугольника действует на множестве верши …   Википедия

  • Действие группы на множестве — Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (Φ(g))(m) часто записывают как gm или g.m. Другими словами, группа G действует на множестве M, если… …   Википедия

  • Действие — Действие  неоднозначное слово, которое может означать: В Викисловаре есть статья «действие» Акт деятельности. Действие группы (в математике) Действие (физика) Действия (акты) …   Википедия

  • ДЕЙСТВИЕ КОЛЛЕКТИВНОЕ — англ. action, collective; нем. Handeln, kollektives. 1. Согласованное действие группы индивидов для достижения общей социально значимой цели. см. КОЛЛЕКТИВ, ПОВЕДЕНИЕ. 2. Единообразное поведение множества индивидов, обусловленное не общими… …   Энциклопедия социологии

  • Группы Ли — Группой Ли над полем K ( или ) называется группа G, снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над K, причём отображения и , определённые так …   Википедия

  • Действие (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Действие. Термин действие употребляется в физике в нескольких специальных значениях: как название фундаментальной физической величины, в значении, близком к разговорному: действие сил или… …   Википедия

  • ДЕЙСТВИЕ КОЛЛЕКТИВНОЕ — англ. action, collective; нем. Handeln, kollektives. 1. Согласованное действие группы индивидов для достижения общей социально значимой цели. См. КОЛЛЕКТИВ, ПОВЕДЕНИЕ. 2. Единообразное поведение множества индивидов, обусловленное не общими… …   Толковый словарь по социологии

  • Группы Томпсона — F и T специальным образом построенные группы гомеоморфизмов отрезка и окружности соответственно. А именно, гомеоморфизм отрезка или окружности принадлежит группе F или Т соответственно, если: он кусочно линеен; на каждом отрезке линейности… …   Википедия

  • действие ошибочное — общее название для целого класса действий «с дефектом», при выполнении коих обнаруживаются ошибки различного характера. Сюда относятся оговорки, описки, очитки, ослышки, забывание, затеривание, запрятывание, ошибки памяти и ошибки заблуждения… …   Большая психологическая энциклопедия

  • Действие за национальное освобождение — (ALN) порт. Ação Libertadora Nacional Лидер: Карлус Маригелла, Жоаким Феррейра Дата основания: 1964 Идеология …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»