ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА это:

ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА

дедекиндова структура, модулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой справедлив модулярный закон, т. е. влечет (a+b)c=а+bс для всякого Ь. Высказанное требование равносильно справедливости тождества ( ас+b) с=ас+bс. Примерами Д. р. служат решетки подпространств линейного пространства, нормальных делителей (но не подгрупп) группы, идеалов кольца и др. Решетка, имеющая композиционный ряд, является Д. р. тогда и только тогда, когда на ней существует функция размерности d, т. е. такая целочисленная функция, что d(x+y)+d(xy) = d(x)+d(y)и что из простоты интервала [a, b]вытекает d(b)=d(a)+l. Если w=a1(1)... а m1(1)1(2)... am2(2), каждый из элементов а i(k) не представим в виде произведения отличных от него элементов и то т 1 = т2 и для всякого а (1)i найдется такой элемент a(2)j, что (см. [3], [6]). Ненулевые элементы a1, ..., а n из Д. р. с нулем 0 называются независимыми, если (а 1+ ... + ai-1+ai+1+ ... +an)ai = 0 для всех г. Это определение позволяет обобщить многие свойства линейно независимых систем векторов (см. [3], [5], [6]). Если а 1,..., а п независимы, то их сумма обозначается как Теорема Оре: если Д. р. имеет композиционный ряд и

причем каждый из элементов а (k)i не представляется в виде суммы двух независимых элементов, то m1=m2 и для всякого а (i)i найдется такой элемент a(2)j, что и

(см. [3], [6]). В случае полных Д. р., подчиненных нек-рым дополнительным требованиям, теоремы о независимых элементах и прямых разложениях можно распространить на беоконечные множества (см. [4], [5]). Исследовались Д. р. с дополнениями, то есть Д. р. с 0 и 1, для каждого элемента хк-рых существует хотя бы один такой элемент у(наз. дополнением элемента х), что х+у=1, ху=0. Д. р. с дополнениями, обладающая композиционным рядом, изоморфна Д. р. всех подпространств конечномерного линейного пространства над нек-рым телом. Полная Д. p. Lс дополнениями изоморфна Д. р. всех подпространств линейного пространства (не обязательно конечномерного) над нек-рым телом тогда и только тогда, когда: а) если то найдется атом. б) если р- атом и где то для нек-рого конечного множества ;в)если р, q- атомы, то найдется атом причем q;. г) существует не менее трех независимых атомов. Условие г) можно заменить требованием справедливости Дезарга предложения (см. [2]). Дальнейшее обобщение этого результата, приводящее к регулярным кольцам (см. [7], [5]), смыкается с теорией алгебр Неймана. Для Д. р. с композиционным рядом наличие дополнений равносильно представимости единицы в виде суммы атомов.

Д. р. названы в честь Р. Дедекинда, к-рый первым сформулировал модулярный закон и установил ряд его следствий [1].

Лит.:[1] Dedekind R., Gesammelte mathematische Werke, Bd 2, Braunschweig, 1931, S. 236-71; [2] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [4] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [5] Скорняков Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [6] его же, Элементы теории структур, М., 1970; [7] Neumann J. von, Continuous geometry, N. Y., 1960.

Л. А. Скорняков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА" в других словарях:

  • ВПОЛНЕ ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА — полная решетка, в к рой для любых ее элементов таких, что при имеет место равенство Всякая В. д. р. является дедекиндовой. Если в универсальной алгебре конгруэнции перестановочны, то решетка конгруэнции этой алгебры вполне дедекиндова [1].… …   Математическая энциклопедия

  • РЕШЕТКА — с т р у к т у р а, частично упорядоченное множество, в к ром каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества. П р и м е …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЯРНАЯ РЕШЕТКА — модулярная структур а, то же, что дедекиндова решетка …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНОЕ КОЛЬЦО — (в смысле Неймана) ассоциативное кольцо (обычно с единицей), в к ром уравнение разрешимо для любого а. Следующие свойства ассоциативного кольца R с единицей равносильны: а) R есть Р. к.; б) каждый главный левый идеал кольца R порождается… …   Математическая энциклопедия

  • КРУЛЛЯ - РЕМАКА - ШМИДТА ТЕОРЕМА — группа утверждений, касающихся связи между прямыми разложениями группы или кольца. Теоретико структурная форма этого результата известна как теорема Оре (см. Дедекиндова решетка). Для группы Gс произвольной системой операторов имеет место теорема …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУУПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО — общее название векторных пространств, в к рых определено бинарное отношение частичного порядка, согласованное определенным образом с векторной структурой пространства. Введение порядка в функциональных пространствах позволяет исследовать в общих… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»