АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ это:

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ

сравнение вида:

где



- многочлен от переменных с целыми рациональными коэффициентами . Максимальное значение величины


где максимум берется по всевозможным наборам для к-рых , наз. степенью по совокупности переменных или степенью алгебраического сравнения (1). Максимальное значение величины где максимум берется по тем же наборам наз. степенью алгебраического сравнения (1)по переменной .

Основным вопросом в теории А. с. является вопрос о числе решений того или иного сравнения. При этом можно ограничиться лишь случаем простого модуля, поскольку вопрос о числе решений А. с. (1) по составному модулю т, за исключением нек-рых вырожденных случаев, сводится к вопросу о числе решений сравнений по простым модулям р, делящим т.

Среди А. с. от одной переменной наиболее изучены двучленные сравнения


Исследование вопроса о числе решений сравнения в случае многочлена общего вида встречает значительные трудности и при его решении получены лишь отдельные частные результаты. Систему сравнений


можно трактовать как систему алгебраич. уравнений:


над простым конечным полем , состоящим из рэлементов; число решений этой системы сравнений будет числом - рациональных точек алгебраического многообразия, определяемого системой уравнений (2). Поэтому, наряду с теоретико-числовыми методами, к изучению А. с. или систем А. с. применяются методы алгебраич. геометрии.

Среди А. с. от нескольких переменных более полно исследованы сравнения вида


Именно, для числа решений А. с. этого вида, где - абсолютно неприводимый многочлен, получена оценка


Здесь константа gзависит лишь от многочлена и равна роду кривой В первом нетривиальном случае - для эллиптич. сравнения


такую оценку получил X. Хассе (Н. Hasse) в 1934, основываясь на формуле сложения точек Якоби многообразия кривой Позже метод Хассе был распространен А. Вейлем [4] на случай абсолютно неприводимых многочленов F. В [3] указанная оценка была получена с помощью элементарных методов.

А. с. с числом переменных изучены значительно слабее. В качестве общего результата можно отметить теорему Шевалле, утверждающую, что если - форма, степень к-рой строго меньше числа переменных, то число решений сравнения


положительно и делится на р;для однородных многочленов существование решения не гарантируется; но делимость на ростается в силе (теорема Варнин-г а). Существуют обобщения последней теоремы на случай систем сравнений.

Теория А. с. имеет многочисленные применения в других разделах теории чисел - в теории диофантовых уравнений, задачах аддитивной теории чисел, теории алгебраич. чисел и т. д.

Лит.: [1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] Степанов С. А., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 237-46; [4] Weil A., Sur les courbes algebriques et les varietes qui s'en deduisent, P., 1948. С. А. Степанов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ — алгебраическое сравнение вида (1) где а, т взаимно простые целые числа, а натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. невычетом степени ппо модулю т. Вопрос о разрешимости Д. с …   Математическая энциклопедия

  • ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Вольстенхольма — (англ. Wolstenholme s theorem) утверждает, что для любого простого числа выполняется сравнение где   средний биномиальный коэффициент. Эквивалентное сравнение Неизвестны составные числа, удовлетворяющие теореме Вольстенхол …   Википедия

  • Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.          Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 …   Большая советская энциклопедия

  • ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2,... и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не… …   Энциклопедия Кольера

  • Speex — Расширение .spx MIME audio/x speex Разработан Xiph.Org Foundation Тип формата Аудиокодек …   Википедия

  • P-адическое число — (произносится: пэ адическое)  элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p адической нормы, которая определяется на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число… …   Википедия

  • p-адическое число — Для заданного фиксированного простого числа p p адическое число (произносится: пэ адическое; соответственно: два адическое, три адическое и т.п.) элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел… …   Википедия

  • ДВИЖЕНИЯ — ДВИЖЕНИЯ. Содержание: Геометрия Д....................452 Кинематика Д...................456 Динамика Д....................461 Двигательные механизмы............465 Методы изучения Д. человека.........471 Патология Д. человека ............. 474… …   Большая медицинская энциклопедия

  • Число — I Число         важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Ч. изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»