АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ это:

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

один из основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Современное определение А. м. над полем kкак приведенной схемы конечного типа над полем kпретерпело длительную эволюцию. Классич. определение А. м. ограничивалось аффинными и проективными алгебраич. множествами над полями действительных или комплексных чисел (см. Аффинное алгебраическое, множество, Проективное алгебраическое множество). Начиная с кон. 20-х гг. 20 в. в работах Б. Л. ван дер Вардена (В. L. van der Waerden), Э. Нётер (Е. Noether) и др понятие А. м. подверглось существенной алгебраиза-ции, позволившей перейти к рассмотрению А. м. над произвольными полямп. А. Вейль [6] перенес на А. м. идею конструкции дифференцируемых многообразий с помощью склейки. Полученное таким образом абстрактное A.M. определяется как система аффинных алгебраич. множеств над полем k, в каждом из к-рых выделены открытые подмножества согласованно изоморфные открытым подмножествам На такие А. м. удалось перенести все основные понятия классической алгебраич. геометрии. Примеры абстрактных А. м., неизоморфных алгебраич. подмножествам проективного пространства, были затем построены М. Нагатой (М. Nagata) и X. Хиронака (Н. Hironaka) (см. [2], [3]). Аналогом проективных алгебраич. множеств при этом служили полные алгебраические многообразия.

Ж. П. Серром [5] было обнаружено, что единое определение дифференцируемых многообразий и аналитич. ространств как окольцованных топологич. пространств имеет свой аналог и в алгебраич. геометрии. А. м. стало наз. окольцованное пространство, локально изоморфное аффинному алгебраич. множеству над полем kс топологией Зариского и пучком ростков регулярных функций на нем. Дополнительная структура окольцованного пространства на А. м. позволяет упростить различные конструкции с абстрактными А. м., а также ввести в их изучение методы гомологич. алгебры, связанные с теорией пучков.

В 1958 на Международном математич. конгрессе в Эдинбурге А. Гротендик (A. Grothendieck) наметил перспективы дальнейшего обобщения понятия А. м., связанного с теорией схем. После того как были заложены [4] основы этой теории, под А. м. стали пониматься приведенные схемы конечного типа над полем k, причем такие аффинные (соответственно проективные) схемы стали наз. аффинными (соответственно проективными) многообразиями. Включение А. м. в более широкие рамки схем оказалось полезным в ряде вопросов классической алгебраич. геометрии ( разрешение особенностей, модулей проблема и др.).

Другое обобщение понятия А. м. связано с понятием алгебраического пространства.

Над полем комплексных чисел каждое А. м. обладает структурой комплексного аналитического пространства, что позволяет привлекать к изучению топологические и трансцендентные методы (см. Кэлерово многообразие).

Многие вопросы теории чисел (теория сравнений, диофантовы уравнения, модулярные формы и др.) приводят к изучению А. м. над конечными полями и полями алгебраич. чисел (см. Алгебраических многообразий арифметика, Диофантова геометрия, Дзета-функция в алгебраической геометрии).

Лит.:[1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1972, с. 47-112; [4] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometric algebrique, t. 1-Le langage des schemes, P., 1960; [alSerre J.-P.,"Ann. Math.", 1955, v. 61, № 2, p. 197-278; [6] W e i 1 A., Foundations of algebraic geometry, N.Y., 1946 (2 ed., 1962). И. В. Долгачев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • Алгебраическое многообразие — Существуют различные типы алгебраических многообразий: аффинные многообразия, проективные многообразия, квазипроективные многообразия. Содержание 1 Аффинные многообразия 2 Проективные и к …   Википедия

  • ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — обобщение понятия компактного комплексного алгебраич. многообразия. Многообразие Xназ. полным, если для любого многообразия Yпроекция является замкнутым морфизмом, т. е. переводит замкнутые (в топологии Зариского) подмножества в замкнутые… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛЯРИЗОВАННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — пара (V,x)> где V полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV класс нек рого обильного обратимого пучка, PicoV связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V абелево многообразие,… …   Математическая энциклопедия

  • Многообразие — Многообразие  топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. Возможно …   Википедия

  • Многообразие (топология) — Многообразие  пространство, которое локально выглядит как «обычное» Евклидово пространство . Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли, на которой небольшие области …   Википедия

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия

  • НЕПРИВОДИМОЕ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие, являющееся неприводимым топологическим пространством в топологии Зариского. Иначе говоря, Н. м. алгебраич. многообразие, к рое нельзя представить в виде объединения двух собственных замкнутых алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

  • БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл… …   Математическая энциклопедия

  • РАЦИОНАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие Xнад алгебраически замкнутым полем k, поле рациональных функций k(X)к рого изоморфно чисто трансцендентному расширению конечной степени поля k. Другими словами, Р. м. это алгебраич. многообразие X, бирационально… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»