ДВОЙНОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ это:

ДВОЙНОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ

- выражение вида

где Г - граница произвольной ограниченной Ж-мерной области п у- внешняя по отношению к области gнормаль к границе Г в точке у,m(у).- плотность потенциала - функция, заданная на Г, h(rxy)- фундаментальное решение уравнения Лапласа

- площадь поверхности единичной (N-1)-мерной сферы,- расстояние между точками хи . Граница Г принадлежит классу С (1,l); она является поверхностью или дугой Ляпунова.

Выражение (1) может быть истолковано как потенциал, создаваемый диполями, помещенными на Г, направление к-рых в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали ny, а интенсивность равна m(y).

Если то и(х)определено для всех (в частности и для и обладает следующими свойствами.

1) Всюду в функция и(х)имеет производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа, причем производные по координатам точки хможно вычислять дифференцированием под знаком интеграла.

2) При переходе через границу Г функция и(х)испытывает разрыв. Пусть х 0- произвольная точка на Г, и +( х 0 и -( х 0 )-предельные значения изнутри и извне, тогда и ±( х 0 )существуют и равны

причем интеграл в формуле (3) как функция принадлежит С (0, a) при любом кроме того, функция, равная и в gи и + на Г, непрерывна в g+Г, а функция, равная ив EN-(g-Г и - на Г, непрерывна в EN-g.

3) Если плотность и то и(х), продолженная так же, как в 2)на g+Г или EN-g, принадлежит классу С (0,a) в g+Г или в EN-g.

4) Если a>1-l, а х 1 и х 2- две точки, принадлежащие нормали, выходящей из точки х 0, симметричные относительно точки х 0, то

В частности, если существует одна из производных ди +( х о)/дп, ди -( х о)/дп, то существует и другая и ди +( х о)/дn=ди -( х о)/дп. Это свойство справедливо также, если а

Перечисленные выше свойства обобщаются во многих направлениях. Плотность m(x) может принадлежать L р (Г), . Тогда вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех и интеграл в (3) принадлежит Lp (Г).

Изучены также свойства Д. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной мере v, определенной на Г:

здесь также вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех по мере Лебега v(x)с заменой m(z0) на производную меры v' (x0). В определении (1) фундаментальное решение уравнения Лапласа может быть заменено на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка с переменными коэффициентами, а д/дn- на производную по конормали. При этом остаются справедливыми свойства, перечисленные выше (см. [2]).

Д. с. п. играет важную роль в решении краевых задач для эллиптич. уравнений. Представление искомого решения (первой) краевой задачи в виде Д. с. п. с неизвестной плотностью m(y) и использование свойства 2) приводит к интегральному Фредгольма уравнению второго рода на Г для определения функции m(у)(см. [1], [2]).

При решении краевых задач для параболич. уравнений используется понятие теплового потенциала двойного слоя, т. е. интеграл вида

где G(x, t; у,t) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в N-мерном пространстве:

s( у, т) - плотность потенциала. Функция v(x, t )и ее обобщение на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают свойствами, аналогичными указанным выше для и(х)(см. [3], [4], [5]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее при" менение к основным задачам математической физики, М,,1953; [2] Миранда К.,. Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [3] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968.

И. А. Шишмарев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДВОЙНОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ" в других словарях:

  • ПОТЕНЦИАЛ — ПОТЕНЦИАЛ. Количество любого вида энергии может быть выражено произведением двух различных величин, из к рых одна характеризует «уровень энергии», определяет направле ние, в к ром должен совершаться ее переход; так напр. тяжелое тело… …   Большая медицинская энциклопедия

  • Потенциал (математич., физич.) — Потенциал, потенциальная функция, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрическое, гравитационное и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и т.п.). В… …   Большая советская энциклопедия

  • Потенциал Кулона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • Потенциал Ньютона — Ньютоновым потенциалом называют функцию, заданную в и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x| 1: Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ. Содержание 1 Объёмный потенциал …   Википедия

  • ПОТЕНЦИАЛ НУЛЕВОГО ЗАРЯДА — (ПНЗ), потенциал электрода, заряд пов сти к рого Qравен нулю. При этом величина Qопределяется как кол во электричества, к рое необходимо сообщить электроду при увеличении площади его пов сти на единицу для того, чтобы потенциал электрода… …   Химическая энциклопедия

  • Потенциал — I Потенциал (от лат. potentia сила)         в широком смысле средства, запасы, источники, имеющиеся в наличии и могущие быть мобилизованы, приведены в действие, использованы для достижения определённой цели, осуществления плана, решения какой… …   Большая советская энциклопедия

  • ПОТЕНЦИАЛ — потенциальная функция, одна из характеристик векторного поля. Скалярный потенциал скалярная функция v(M).такая, что a=gradv(M).во всех точках области задания поля а (М).(иногда, напр, в физике, П. наз. величину, противоположную по знаку). Если… …   Математическая энциклопедия

  • потенциал электродный — – потенциал, возникающий на границе раздела металла с раствором в результате окислительного и восстановительного процессов, протекающих с участием металла (электрода) и образованием двойного электрического слоя. Общая химия : учебник / А. В.… …   Химические термины

  • ПОВЕРХНОСТНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ — потенциал меры, сосредоточенной на нек рой поверхности. При решении основных граничных задач потенциала теории применяются два вида П. п.: простого слоя потенциал создаваемый распределенной по поверхности Sмерой с плотностью и двойного слоя… …   Математическая энциклопедия

  • НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ — в шороком смысле потенциал с ньютоновым ядром где расстояние между точками хи уевклидова пространства т. е. интеграл вида где интегрирование производится по нек рой мере Радона на с компактным носителем S. В случае неотрицательной меры Н. п. (1)… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»