ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА это:

ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА

группы G над полем K - ассоциативная алгебра над полем К, элементами к-рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида

а операции определяются формулами:


(в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается KG;элементы группы Gобразуют базис алгебры KG;умножение базисных элементов в Г. а. индуцируется групповым умножением. Алгебра KG изоморфна алгебре функций, определяемых на группе Gсо значениями в поле Ки принимающих лишь конечное число ненулевых значений; умножение в этой алгебре - свертка функций.

Эту же конструкцию можно рассмотреть и для случая, когда K - ассоциативное кольцо. Таким образом приходят к понятию группового кольца группы G над кольцом K; в случае, когда Ккоммутативно и с единицей, групповое кольцо наз. часто также групповой алгеброй группы над кольцом.

Г. а. были введены Г. Фробениусом (G. Frobenius) и И. Шуром [1] в связи с изучением представлений групп, поскольку рассмотрение представлений группы Gнад полем K равносильно изучению модулей над Г. a. KG. Так, теорема Машке на языке групповых алгебр формулируется следующим образом: если G - конечная группа, а K - поле, то Г. a. KG полупроста тогда н только тогда, когда порядок группы G не делится на характеристику поля K.

В начале 50-х гг. 20 в. появились исследования по Г. а. бесконечных групп в связи с применением целочисленных Г. а. в алгебраич. топологии, а также с использованием методов теории Г. а. при изучении строения группы. Этому способствовал также ряд проблем, поставленных для Г. а., наиболее известная из них: содержит ли делители нуля Г. а. группы без кручения? (проблема Капланского).

Некоторые направления исследований по групповым кольцам н алгебрам.

Радикал и полупростота.

Групповое кольцо обладает ненулевым нилыютентным идеалом тогда и только тогда, когда либо Кимеет ненулевой нилыютентный идеал, либо порядок нек-рой конечной

нормальной подгруппы из Gделится на порядок элемента из аддитивной группы кольца К. Если К - кольцо без нильидеалов и порядок любого элемента из G не делится иа порядок ни одного элемента из аддитивной группы К, то KG без нпльидеалов. Г. a. KG над полем характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона радикала, если Ксодержит трансцендентный элемент над полем рациональных чисел.

Вложение Г. а. в тела. Г. а. упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева - Неймана). Существует предположение, что это же верно для Г. а. всякой правоупорядоченной группы.

Связь теоретико-кольцевых свойств группового кольца КG со строением группы G и кольца К. Напр., КG первично тогда н только тогда, когда кольцо Кпервично и группа G не имеет конечных нормальных подгрупп.

Проблема изоморфизма: если групповые кольца КG и КН изоморфны как К-алгебры, то какая связь существует между строением групп G и К, в частности, когда G и Н изоморфны? Выяснилось, что однозначно определяет группу групповое кольцо периодической разрешимой группы класса 2 над кольцом целых чисел и групповое кольцо счетной абелевой р-группы над кольцом характеристики р.

Рассматривались различные обобщения понятия Г. а., напр, понятие скрещенного произведения группы и кольца, для к-рого остаются справедливыми многие свойства Г. а.

Лит.:[1] Schur I., "Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.", 1905,8. 406-32; [2] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971; [4] Современные проблемы математики, т. 2, М., 1973, с. 5-118; [5] Бовди А. А., Групповые кольца, Ужгород, 1974; см. также лит. при статье Представления групп.

А. А. Бовди.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА" в других словарях:

  • ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — локально бикомпактной группы топологическая алгебра с инволюцией, образованная функциями на группе и такая, что в ней умножение определяется как свертка. Пусть банахово пространство построено с помощью левоинвариантной Хаара меры . на локально… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изучению алгебраических операций. Исторический очерк. Простейшие алгебраич. операции арифметич. действия над натуральными и положительными рациональными числами встречаются в самых ранних математич. текстах,… …   Математическая энциклопедия

  • СИММЕТРИЧНАЯ АЛГЕБРА — алгебра Енад полем комплексных чисел, снабженная инволюцией . Примерами С. а. являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в к рой инволюция определяется как переход к комплексно сопряженной функции; алгебра ограниченных линейных операторов …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ ГРУППОВАЯ СХЕМА — групповая схема Gнад базисной схемой S, значение к рой на любой S схеме является абелевой группой. Примерами К. г. с. служат абелевы схемы и алгебраические торы. Обобщением алгебраич. торов в рамках теории групповых схем служит следующее понятие …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ф(S).над полем Ф, обладающая базисом S, являющимся одновременно и мультипликативной полугруппой. В частности, если базис Sявляется группой, получается групповая алгебра. Если полугруппа Sсодержит нуль, то он обычно отождествляется с нулем …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т …   Математическая энциклопедия

  • БАНАХОВА АЛГЕБРА — топологическая алгебра А над полем комплексных чисел, топология к рой определяется нормой, превращающей Ав банахово пространство, причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. наз. коммутативной, если Для всех (см.… …   Математическая энциклопедия

  • ФРОБЕНИУСОВА АЛГЕБРА — конечномерная алгебра Rнад полем Ртакая, что левые R модули . и Ноm р (R, Р)изоморфны. На языке представлении это означает эквивалентность правого и левого регулярных представлений. Всякая групповая алгебра конечной группы над полем является Ф. а …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»