ГРИНА ПРОСТРАНСТВО

- топологич. пространство X, на к-ром определены гармонич. и супергармонич. функции и существует Грина функция (для Дupихле задачи в классе гармонич. функций), или, что равносильно, существует отличная от константы положительная супергармонич. функция. Точнее, пусть Xявляется Е- пространством, т. е. связным отделимым топологич. пространством, в к-ром: 1) каждая точка имеет открытую окрестность , гомеоморфную нек-рому открытому множеству евклидова пространства (или его компактификации по Александрову; см. Александрова бикомпактное расширение);2) образы всякого непустого пересечения двух окрестностей в и изометричны, а при п=2 конформно эквивалентны. Гармонич. и супергармонич. функции на Е-пространстве Xопределяются локально посредством перехода к образам . Если, кроме того, на Е-пространстве Xсуществует отличная от константы положительная супергармонич. функция, или, что равносильно, положительный потенциал, то Xназ. Грина пространством. Напр., евклидово пространство , его компактификация , римановы поверхности являются Е-пространствами. При этом при и римановы поверхности гиперболич. типа являются Г. п., а и римановы поверхности параболич. типа не являются Г. п. Всякая область в Г. п. Xснова есть Г. п.

В рамках аксиоматич. теории потенциала (см. Потенциала теория абстрактная).в качестве обобщения Г. п. можно рассматривать такие гармонические пространства X, на к-рых существует положительный потенциал.

Лит.:[1] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974; [2] Вrelot M., Сhоquеt G., "Ann. Inst. Fourier", 1952, t. 3, p. 199-263.

Е. Д. Соломенцев.