ГРАССМАНА МНОГООБРАЗИЕ это:

ГРАССМАНА МНОГООБРАЗИЕ

множество всех -мерных подпространств в n-мерном векторном пространстве Vнад телом k. Если k - поле, то с помощью грассмановых координат (см. Внешняя алгебра).вкладывается в -мерное проективное пространство над kв виде компактного алгебраич. многообразия. В изучении геометрич. свойств Г. м. большую роль играют так наз. многообразия Шуберта am=<n определяемые следующим образом: если - флаг подпространств, т. е. набор таких подпространств, что то

любое -мерное алгебраич. подмногообразие в Г. м. эквивалентно единственной целочисленной линейной комбинации многообразий где

(см. [1]).

В случаях, когда k - поле действительных чисел , поле комплексных чисел или тело кватернионов , Г. м. над kможно рассматривать как компактное аналитич. многообразие (действительное при и и комплексное при ). Эти многообразия замечательны тем, что являются классифицирующими пространствами для классических групп соответственно. Точнее, для любого клеточного комплекса Х размерности , где соответственно, множество классов изоморфных m- мерных векторных расслоений над kс базой Xнаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством гомотопич. классов непрерывных отображений (см. [2]). Аналогичная теория для групп приводит к рассмотрению Г. м. ( или ) ориентированных m-мерных подпространств в . Перечисленные Г. м. тесно связаны, в частности, с теорией характеристических классов.

Роль, к-рую играют Г. м. в топологии, потребовала детального изучения их топологич. инвариантов. Старейший метод этого изучения основан на многообразиях Шуберта, с помощью к-рых легко построить клеточное разбиение для . Оказывается, в частности, что циклы порождают базисы групп гомологии Хорошо изучены также алгебры кого-мологий Г. м. и действие степеней Стинрода на них [3].

Другой аспект теории Г. м. состоит в том, что они являются однородными пространствами линейной группы над соответствующим телом и представляют собой основные примеры неприводимых симметрических пространств.

Многообразия, аналогичные Г. м., можно конструировать также из подпространств бесконечномерных векторных пространств. В частности, в теории деформаций аналитич. структур существенную роль играет банахово аналитич. многообразие , элементами к-рого являются замкнутые подпространства банахова пространства Внад , допускающие замкнутое прямое дополнение.

Лит.:[1]Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1954; [2] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [3] Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958; [4] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961. А. Л. Онищик.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГРАССМАНА МНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл… …   Математическая энциклопедия

  • ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — топологическое пространство, каждая точка к рого обладает окрестностью, гомеоморфной плоскости или полуплоскости. Д. м. наиболее наглядный класс многообразий: к ним относятся сфера, круг, лист Мёбиуса, проективная плоскость, бутылка Клейна и др.… …   Математическая энциклопедия

  • ШУБЕРТА МНОГООБРАЗИЕ — множество всех т мерных подпространств Wв n мерном векторном пространстве Vнад полем k, удовлетворяющих условиям Шуберта: j=1,..., т, где фиксированный флаг подпространств в V. В грассмановых координатах эти условия выражаются линейными… …   Математическая энциклопедия

  • КЛАССИФИЦИРУЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО — база В 0 универсального расслоения x= (E0, р 0, В о). Универсальность расслоения x понимается в следующем смысле. Пусть kG (Х) множество классов эквивалентности (относительно изоморфизма, накрывающего тождественное отображение X)локально… …   Математическая энциклопедия

  • ПЛОЩАДЬ — численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛИВЕКТОР — р вектор, векторного пространства V элемент р й внешней степени LPV пространства Vнад полем k(см. Внешняя алгебра). p вектор может пониматься как кососимметризованный рраз контравариантный тензор на V. Любая линейно независимая система векторов х …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ — локально тривиальное расслоение : , каждый слои к рого наделен структурой (конечномерного) векторного пространства над телом ; наз. размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально свободный модуль над кольцом непрерывных функций на Всо… …   Математическая энциклопедия

  • КООРДИНАТЫ — числа, величины, по к рым находится (определяется) положение какого либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются …   Математическая энциклопедия

  • ФЛАГ — типа v в n мерном векторном пространстве V такой набор линейных подпространств V1, V2, ..., Vk в V размерностей соответственно n1, п 2, ..., nk, что (здесь v = (n1 ... ...,nk), 0<n1<n2<...<nk<п). Флаг типа v0=(1,2,...,n 1) наз.… …   Математическая энциклопедия

  • КАРТАНА МЕТОД ВНЕШНИХ ФОРМ — дифференциально алгебраический метод исследования систем дифференциальных уравнений и многообразий с различными структурами. Алгебраич. основу метода составляет алгебра Грассмана. Пусть Vесть 2n мерное векторное пространство над произвольным… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»