ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ это:

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

пространства Xпо группе коэффициентов G- наибольшее целое число п, при к-ром для нек-рого замкнутого множества отлична от нуля группа гомологии Александрова - Чеха. Г. р. обозначается . Аналогично определяется когомологическая размерность - наименьшее целое n, для которого отображение эпиморфно для всех замкнутых . Под гомологической теорией размерности обычно подразумевается ее когомологический вариант, значительно глубже разработанный. Это объясняется тем что когомологии Александрова - Чеха удовлетворяют всем Стинрода - Эйленберга аксиомам, включая точность и потому применение когомологии оказалось более эффективным. На категории метризуемых компактов, где между группами

имеет место Понтрягина двойственность, гомологический подход с коэффициентами в компактной группе G эквивалентен когомологическому подходу с коэффициентами в двойственной группе ; аналогично, оба подхода эквивалентны, если в качестве коэффициентов берутся элементы одного и того же поля G.

Гомологическая теория размерности берет свое начало с утверждения, полученного П. С. Александровым: соотношение где dim - лебегова размерность, эквивалентно тому, что любое непрерывное отображение в n-мерную сферу Sn произвольного замкнутого множества может быть продолжено до отображения в всего X. Отсюда было получено, что dim, если dim , a Zесть группа целых чисел. Затем Л. С. Понтрягиным было замечено, что Г. р. по разным областям коэффициентов не совпадают (вообще же, как это вытекает из формул универсальных коэффициентов, для любого компакта X);таким образом, Г. р. являются вместе с лебеговой размерностью нек-рыми топологич. инвариантами пространства X.

Г. р. обладает многими свойствами обычной размерности dim. Именно, если А - замкнутое подмножество из X, то где каждое Xзамкнуто в X, то


и т. п. Справедлива теорема Александрова о препятствии: подмножества евклидова пространства , имеющие Г. р. г, (локально) зацепляются -мерными циклами. См. также Размерность. Центральное место в гомологич. размерности занимают исследования соотношений между Г. р. по различным областям коэффициентов. Возникающие в этом направлении задачи имеют много непосредственных приложений в теории размерности и тесно переплетаются с нек-рыми важнейшими задачами теории групп преобразований. Большую роль играет анализ размерности произведения; напр.,


если G - поле рациональных чисел или поле вычетов по простому модулю, а


ля любого компакта тогда и только тогда, когда все размерности совпадают.

Внешний облик гомологич. теории размерности существенно изменился в связи с применением аппарата пучков теории, получила самостоятельное развитие когомологич. теория размерности с коэффициентами в пучках (основное определение такое же). Новые методы оказались применимыми к решению ряда задач, связанных с поведением размерности при непрерывных отображениях, а также позволили расширить область применимости теории до категории паракомпактных пространств.

Лит:[1] Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности пер. с англ., М., 1948; [2] Кузьмине в В. И., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 5(143), о. 3-49.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ" в других словарях:

  • ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия категории модулей над кольцом. Пусть фиксированный класс объектов абелевой категории и объект… …   Математическая энциклопедия

  • ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕЦ — общее название для результатов, описывающих свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей) по свойствам тех или иных модулей над ним и, в частности, по свойствам категории всех левых (или правых) модулей над этим кольцом (см. Мориты… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — 1) К. p. (dimGX) топологического пространства Xотносительно группы коэффициентов G максимальное целое число р, для к рого в X найдутся замкнутые подмножества Атакне, что когомологий Н p( Х, A; G )отличны от нуля. Аналогично определяется… …   Математическая энциклопедия

  • Теория размерности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если есть полиэдр (в… …   Википедия

  • ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ — инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g: что диаграмма… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия

  • ГОРЕНШТЕЙНА КОЛЬЦО — коммутативное нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность (см. Гомологическая размерность). Кольцо Ас максимальным идеалом m и полем вычетов kразмерности пявляется Г. к. тогда и только тогда, когда выполняется одно из… …   Математическая энциклопедия

  • ЛОКАЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ — гомологии группы определенные в точках гомологии с компактными носителями. Эти группы совпадают с прямыми пределами по открытым окрестностям Uточки х, а для гомологически локально связных X также с обратными пределами Гомологическая размерность… …   Математическая энциклопедия

  • Локальные гомологии — Для улучшения этой статьи желательно? …   Википедия

  • ПОНТРЯГИНА ПОВЕРХНОСТИ — лежащие в четырехмерном евклидовом пространстве R4 двумерные континуумы С т, dim Cm=2, такие, что их гомологическая размерность по данному модулю m=2, 3, ... равна 1 и что они в этом смысле размерно неполноценны . Л. С. Понтрягин [1] построил… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»