ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ

топологических пространств - часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств - гомоморфизмы соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их гомоморфизмов позволяет судить о свойствах пространств и отображений. К таким свойствам относятся, напр., связности различных размерностей, для исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивают, в отличие от другой части алгебраич. топологии - теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare) (см. Гомологии полиэдра), но аксиоматич. построение (а вместе с ним и точные границы этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. получила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см. [3], а также Алгебраическая топология, Гомологии группа, Стинрода- Эйленберга аксиомы). По этому построению теория гомологии есть совокупность трех функций: 1) относительной r-мерной группы гомологии пары топологич. пространств к-рая каждой паре и каждому целому числу r ставит в соответствие абелеву группу ; 2) гомоморфизма

к-рый ставится в соответствие непрерывному отображению и числу rи yаз. гомоморфизмом, индуцированным отображением f; 3) граничного оператора , к-рый каждой паре и каждому rставит в соответствие гомоморфизм группы в группу (так наз. абсолютную группу пространства А, являющуюся группой пары ). При этом указанные функции должны удовлетворять следующим аксиомам.

наз. гомологической последовательностью, пары , является точной последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфизма совпадает с ядром исходящего.

5. Аксиома гомотопии. Если отображения

гомотопны, то .

6. Аксиома вырезания. Если U - открытое подмножество пространства Xи его замыкание содержится во внутренности подпространства А, то отображение вложения

индуцирует изоморфизм .

7. Аксиома размерности. Если X- одноточечное пространство, то для всех .

Вместо категории всех пар пространств за область определения функции H_r можно взять произвольную категорию пар пространств, напр, категорию пар компактных пространств пли категорию пар, состоящих из полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы такая категория вместе с содержала пары , , , цилиндр и какое-либо одноточечное пространство Р ₀, со всеми их отображениями вложения. Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или теоремах. С другой стороны, за область значений функции вместо категории всех абелевых групп можно принимать и другие категории, напр, категорию топологических, в частности, компактных групп с непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами. Аксиомы 1 и 2 означают, что есть ковариантный функтор из нек-рой категории пар пространств в категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный оператор согласован с функтором . Аксиома 4, связывающая функторы всех размерностей r, иногда заменяется более слабым требованием: чтобы последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил в ядро (см. Точная последовательность);важным примером частично полуточной теории гомологии является теория гомологии Александрова - Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму: если

- отображения, определяемые формулами Аксиома 6, требующая инвариантность при вырезании и имеющая несколько разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает ее от теории гомотошш. Аксиома 7, обеспечивающая гео-метрич. значимость размерностного индекса r, в современных исследованиях часто пренебрегается, что порождает так наз. обобщенные теории гомологии, важным примером к-рых служит теория бордизмов.

Для Г. т. существует двойственная ей теория когомологии (см. Двойственность в топологии). Она задается: относительной r-мерной группой когомологии являющейся контравариантным функтором из категории пар топологич. пространств в категорию абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом

и кограничным оператором

Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомологии, с очевидным изменением в направлении гомоморфизмов, происходящим от контравариантности; напр., аксиома точности требует, чтобы была точной когомологическая последовательность

Здесь возникают также обобщенные когомологич. теории, важными примерами к-рых служат К-теории и кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют когомологич. параллели.

Группой коэффициентов Г. т. или теории когомологии наз. группа или соответственно . Группы иногда удобно заменять так наз. приведенными группами : приведенная нульмерная группа гомологии есть ядро гомоморфизма

индуцированного отображением , а приведенная нульмерная группа когомологии есть факторгруппа группы по образу ; приведенные группы других размерностей совпадают с исходными: Так, Если при всех r. Замена обычных групп приведенными позволяет получить из гомологич. последовательности приведенную гомологическую последовательность. Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом совместна, как показывает пример тривиальной теории ; вложения нетривиальными примерами являются когомологич. теория Александрова - Чеха, сингулярные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место следующее: гомоморфизмом Г. т. в Г. т. наз. такая система гомоморфизмов

что

и

если все - изоморфизмы, то Г. т. и наз. изоморфными Г. т. На конечных полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если - произвольный гомоморфизм группы коэффициентов теории в группу коэффициентов теории , то для каждой полиэдральной пары существует единственный гомоморфизм

обладающий тем свойством, что причем, если - изоморфизм, то изоморфизмами являются и все . Так как группы гомологии отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны, то для таких пар равенство , , имеет место и при любой Г. т. . Теорема единственности справедлива и для более широких категорий пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствующим дополнительным аксиомам.

Группы гомологип являются топологическими, а также гомотопич. инвариантами: если есть гомотопич. эквивалентность, то есть изоморфизм. Если X- стягиваемое пространство, в частности, клетка, то Если есть гомотопич. эквивалентность, то и, при любом Если А - ретракт пространства X, то есть мономорфизм, - эпиморфизм, оператор тривиален и

Если Xдеформируемо в А, то есть эпиморфизм, тривиален, есть мономорфизм и

Пусть через S(X).обозначена надстройка над X;имеет место изоморфизм

Это дает возможность вычислить группы гомологии сфер ; именно: при и следовательно, при при или и Важную роль в Г. т. играют гомологические последовательности троек и триад. Для тройки пространств граничный оператор определяется как композиция , где есть вложение. Тогда возникает так наз. гомологическая последовательность тройки (сводящаяся при к гомологич. последовательности пары (X, А).

где и - вложения. Эта последовательность точна. Если группы тривиальны для всех , то являются соответственно изоморфизмами, и наоборот. Если Xесть объединение непересекающихся замкнутых множеств где изоморфна прямой сумме групп Триада есть пространство Xс упорядоченной парой А, В подпространств. Она является собственной триадой, если вложения

индуцируют изоморфизмы или имеется разложение

Далее, для

них определяется граничный оператор

как где Это порождает точную гомологическую последовательность триады

вложения [при эта последовательность сводится к гомологич. последовательности тройки ]. Пусть и пусть для отображений имеют место соотношения Тогда справедливы следующие аддиционные теоремы.

2. Если Dстягиваемо и определены соответственно посредством то для индуцированных гомоморфизмов приведенных групп имеет место равенство

Пусть определен гомоморфизм

где и где - вложения, и гомоморфизм

где и - вложения. Пусть, наконец, определен гомоморфизм

где и

- вложения.

Тогда получается так наз. последовательность Мейера- Вьеториса собственной триады:

к-рая является точной и к-рая связывает гомологии пространств с гомологиями их объединения и пересечения. Отсюда, в случае , можно перейти к аналогичной последовательности для приведенных групп. Из нее следует:

1. Если стягиваемо, то

2. Если стягиваемо, то

3. Если Л и В стягиваемы, то Л устанавливает изоморфизм

Использование предыдущих результатов позволяет вычислить группы гомологии различных пространств. Напр., если X - замкнутая ориентируемая поверхность рода п, то изоморфна группе коэффициентов Gпри r=0,2, прямой сумме экземпляров группы Gпри r=1 и 0-в остальных случаях. Если X - замкнутая неорпентнруемая поверхность рода п, то изоморфна Gпри r=0, группе , где есть факторгруппа , при r=1, подгруппе группы G, состоящей из всех элементов с 2g=0 при r=2 и 0-в остальных случаях. Таким образом, Г. т. дает топологич. классификацию замкнутых поверхностей. Для n-мерного действительного проективного пространства группа изоморфна группе Gпри r=0 или r=п и нечетном, группе при rнечетном и , группе при rчетном и и 0 - в остальных случаях. Группа гомологии комплексного проективного пространства размерности 2п изоморфна группе G при r четном и и 0 - в остальных случаях. Гомологич. группа линзового пространства. изоморфна группе Gпри r=0,3, группе , где при r=1, группе , где = при r=2 и 0- в остальных случаях.

Из разнообразных приложений предыдущих результатов следует выделить нек-рые фундаментальные предложения. Прежде всего - инвариантность размерности: сферы, а также евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны; более того, если два полиэдра гомеоморфны, то они имеют одинаковую размерность. Далее, из равенства где есть распространение данного отображения получаются различные признаки распространяемости и ретрагируемости отображений; напр., отображение ненулевой степени сферы в себя не распро-странимо на re-мерный шар границей к-рого является , а сфера не является ретрактом шара ни для какого натурального га. Из этого, в свою очередь, следует теорема Брауэра о неподвижной точке: любое отображение имеет неподвижную точку. Наконец, доказывается, что на Sⁿ существует единичное касательное векторное поле тогда п только тогда, когда пнечетно, а из теории триад получается ряд теорем о степенях отображений, что, в частности, позволяет по-новому доказать основную теорему алгебры.

Лит.:[1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Лефшец С., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1949; [3] Стинрод Н., Эйлен6ерг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] Hu Sze-Tsen, Homology Theory; 3 ed., N.- L., 1965; [6] Hu Sz.-Tz., Cohomology Theory, L., 1970; [7] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976. Г. С. Чогошвили.