ГОЛОНОМИИ ГРУППА это:

ГОЛОНОМИИ ГРУППА

- одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Г. г. определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли Gи базой В(обладающей счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно она определяется для любого присоединенного к Ррасслоенного многообразия Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого пространства Fпредставления группы Ли G.

Связность Г в Р (соответственно в Е).определяет для любой кусочно гладкой кривой Lбазы Визоморфное отображение ГLдруг на друга слоев, соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой Lбазы В, начинающейся и оканчивающейся в точке , соответствует автоморфизм слоя Gx (соответственно ) над точкой х. Множество этих автоморфизмов образует группу Ли , которая наз. группой голономии связности Г в точке х.

Если база (линейно) связна, то и изоморфны между собой для любых и в В. Поэтому можно говорить о группе голономии Ф линейно связного многообразия Р(или Е).со связностью Г.

Г. г. Ф х является подгруппой структурной группы G. В случае линейной связности в Рэту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка в слое над точкой х. Совокупность элементов таких, что точки соединимы горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу группы G, изоморфную .

Ограниченной (суженной) Г. г. наз. подгруппа Г. г. , порожденная замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента Г. г. , при этом не более чем счетно.

Роль Г. г. в дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в Р.

Теорема о приведении связности. Пусть - главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счеткости; Ф - Г. г. заданной в Рсвязности Г. Тогда структурная группа Gприводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приводима к связности в приведенном расслоении , Г. г. к-рого совпадает с Ф.

Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной Г. г.) является подалгеброй алгебры G, порожденной всеми векторами , где - форма кривизны в точке у, у прооегает множество, каждая точка к-рого может быть соединена с исходной точкой y0 горизонтальным путем, - произвольные горизонтальные векторы.

Лит.:[1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Стернбсрг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.

Г. Ф. Лаптев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГОЛОНОМИИ ГРУППА" в других словарях:

  • Группа голономии — Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол α пропорционален площади внутри контура. Параллельное перенесение изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения , определяемый некоторой заданной …   Википедия

  • РИМАНОВА СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на римановом пространстве М, относительно к рой метрич. тензор пространства gij является ковариантно постоянным. Если аффинная связность на Мзадана с помощью матрицы локальных форм связности . (1) и метрич. формой на Мявляется …   Математическая энциклопедия

  • ПРИВОДИМОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — риманово пространство М, у к рого линейная (или, иначе, однородная) голономии группа приводима, т. е. имеет нетривиальные инвариантные подпространства. Риманово пространство с неприводимой группой голономии наз. неприводимым. Полное односвязное П …   Математическая энциклопедия

  • РЕДУКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — такое однородное пространство G/Hсвязной группы Ли G, что в алгебре Ли группы G существует (H) инвариантное подпространство, дополнительное к подалгебре , являющейся алгеброй Ли группы H. Выполнение любого из следующих условий достаточно для того …   Математическая энциклопедия

  • СВЯЗНОСТИ НА МНОГООБРАЗИИ — дифференциально геометрические структуры на гладком многообразии М, являющиеся связносгпями в приклеенных к Мгладких расслоенных пространствах Ес однородными типовыми слоями G/Н размерности dim М. В зависимости от выбора однородного пространства… …   Математическая энциклопедия

  • КРИВИЗНЫ ФОРМА — 2 форма на главном расслоенном пространстве Рсо структурной группой Ли G, принимающая значения в алгебре Ли gгруппы Gи определяемая связности формой . заданной на Р, по формуле К. ф. является мерой отклонения данной связности от локально плоской… …   Математическая энциклопедия

  • Параллельное перенесение — вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол пропорционален …   Википедия

  • ВЕЙЛЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность без кручения на римановом пространстве М, обобщающая Леви Чивита связность в том смысле, что ковариант ный дифференциал метрич. тензора пространства Мотносительно нее необязательно, равен нулю, но является пропорциональным… …   Математическая энциклопедия

  • G2 (математика) — Группа (математика) Теория групп …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»