ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ КОЛЬЦО это:

ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ КОЛЬЦО

ассоциативное кольцо R с единицей, в к-ром все левые п правые идеалы являются главными, т. е. имеют вид и , соответственно, где . Примеры Г. и. к.: кольцо целых чисел, кольцо многочленов над полем F, кольцо косых многочленов над полем Fс автоморфизмом (элементы имеют вид сложение этих элементов обычное, а определяется умножение законами дистрибутивности и равенством , где ), кольцо дифференциальных многочленов над полем Fс дифференцированием (это кольцо также состоит из элементов причем сложение обычное, а умножение определяется равенством , где ). Г. и. к. без делителей нуля наз. областью главных идеалов. Коммутативное Г. п. к. является прямой суммой областей главных идеалов п Г. и. к., обладающих единственным простым идеалом, к-рый нильпотентен (см. [2], с. 282). Если R - область главных идеалов, то два ненулевые элемента а, b кольца R имеют наибольший общий левый делитель ( а, b).и наименьшее общее правое кратное , к-рые определяются как элементы, удовлетворяющие равенствам:


Элементы единственны с точностью до обратимого правого множителя. Область главных идеалов является областью с однозначным разложением на множители. Двусторонние идеалы области главных идеалов образуют относительно умножения свободную коммутативную полугруппу с нулем и единицей (свободными порождающими этой полугруппы будут максимальные идеалы кольца).

Подмодуль Nсвободного модуля Мконечного ранга пнад Rявляется свободным модулем ранга над R, п в модулях Ми Nможно так выбрать базисы и что где и является полным (т. е. ) делителем элементов при . Каждый конечно порожденный модуль Кнад Rявляется прямой суммой циклич. модулей , , где и - полный делитель при . Эта теорема обобщает основную теорему о конечно порожденных абелевых группах. Элементы из предыдущей теоремы определены однозначно с точностью до подобия (см. Ассоциативные кольца и алгебры). Эти элементы наз. инвариантными множителями модуля К. Кроме того, модуль K можно представить в виде прямой суммы далее неразложимых цнклич. модулей где Элементы определены однозначно С точностью до подобия и наз. элементарными делителями модуля К. Если область Rглавных идеалов коммутативна, то или где - неприводимые (простые) элементы кольца R. Из предыдущих утверждений вытекают обычные свойства элементарных делителей и инвариантных множителей линейных преобразований конечномерных векторных пространств [3].

Лит.:[1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [3] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. о франц., М., 1966. Л. А. Бакуть.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ КОЛЬЦО" в других словарях:

  • Кольцо главных идеалов — Кольцо главных идеалов  кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов. Примеры Все евклидовы кольца, в том числе, кольцо целых чисел ,… …   Википедия

  • Кольцо Безу — (названное по имени французского математика Этьена Безу)  это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что колецо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно… …   Википедия

  • Кольцо алгебраическое — Кольцо алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных …   Большая советская энциклопедия

  • Кольцо (алгебра) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

  • Кольцо (множество) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства …   Википедия

  • Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо  это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… …   Википедия

  • Кольцо —         алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных …   Большая советская энциклопедия

  • ФАКТОРИАЛЬНОЕ КОЛЬЦО — кольцо с однозначным разложением на множители. Точнее, Ф. к. А это область целостности, в к рой можно выбрать систему экстремальных элементов . такую, что любой ненулевой элемент допускает единственное представление вида где иобратим, а целые… …   Математическая энциклопедия

  • МНОГОЧЛЕНОВ КОЛЬЦО — кольцо, элементами к рого являются многочлены с коэффициентами из нек рого фиксированного поля к. Рассматриваются также М. к. над произвольным ассоциативно коммутативным кольцом R, напр, над кольцом целых чисел. М. к. от конечного множества… …   Математическая энциклопедия

  • Евклидово кольцо — В абстрактной алгебре евклидово кольцо (эвклидово кольцо)  кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида. Содержание 1 Определение 1.1 Замечание 2 Примеры …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»