ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ это:

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

уравнение Гаусса,- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка


или, в самосопряженной форме,


Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки


получается приведенная форма уравнения (1):


где

Уравнение (1) подробно изучал К. Гаусс [1] в связи с развитой им теорией гипергеометрических рядов, но еще раньше это уравнение (и его решение) рассматривал Л. Эйлер (L. Euler).

Решения уравнения (1) выражаются через гипергеометрическую функцию .

Если g не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде


где - произвольные постоянные; представление (3) справедливо в комплексной плоскости z с разрезами В частности, в действительном случае формула (3) дает общее решение уравнения (1) на интервале Для целых значений общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы).

В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (3). Напр., если не равно целому числу, то


есть общее решение уравнения (1) в комплексной плоскости zс разрезом (см. [2], [3]).

Г. у. включает как частные случаи ряд дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях; многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). Особенно большое значение имеет близкое уравнению (1) вырожденное гипергеометрическое уравнение. Отношение s(z) двух линейно независимых решений уравнения (2) удовлетворяет Шварца уравнению, тесно связанному с задачей конформного отображения полуплоскости на треугольник, ограниченный тремя дугами окружностей. Изучение обратной функции z(s).приводит к понятию автоморфной функции (см. [5]).

Имеются линейные уравнения высших порядков, свойства решений к-рых аналогичны свойствам гипергеометрич. функции: решение уравнения -го порядка


есть обобщенная гипергеометрическая функция содержащая параметров. В частности, обобщенное Г. у. 3-го порядка, имеющее решение можно представить в форме


Лит.:[1] Gauss С., "Comm. recentiores Soc. Gottingen", 1812. Bd 2; [2] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [5] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1950. Н. <Х. <Розов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — конфлюэнтное уравнение линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведенной формой уравнения (1) является… …   Математическая энциклопедия

  • ПАППЕРИЦА УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка класса Фукса, имеющее ровно три особые точки: здесь а, b, с попарно различные комплексные числа, a, a (b, b и g, g ) характеристич. показатели в особой точке z=а (соответственно z=bи z …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка в комплексной плоскости, имеющее три заданные регулярные особые точки а, b, с с соответствующими характеристич. показателями a. a , b, b , g, g в этих точках. Общий вид… …   Математическая энциклопедия

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

  • СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — отдельные классы функций, возникающих вомногих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дифференц. ур ний …   Физическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек рый класс дифференциальных уравнений, все решения к рых суть… …   Математическая энциклопедия

  • НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД — нахождение искомой функции в виде точной или приближенной линейной комбинации (конечной или бесконечной) известных функций. Указанная линейная комбинация берется с неизвестными коэффициентами, к рые определяются тем или иным способом из условий… …   Математическая энциклопедия

  • Эконометрика как наука — Эконометрика  наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Определение предмета эконометрики было дано в уставе… …   Википедия

  • Экономическая статистика — Эконометрика  наука, изучающая конкретные количественные и качественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Определение предмета эконометрики было дано в уставе… …   Википедия

  • Система компьютерной алгебры — Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Викифицировать список литературы, используя …   Википедия

Книги

  • Специальные функции, Д. С. Кузнецов. Для второго издания настоящая книга полностью переработана. Если в первом издании исходным являлось гипергеометрическое уравнение для вещественных переменных, то во втором издании специальные… Подробнее  Купить за 180 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»