ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ это:

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

решение гипергеометрического уравнения


Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса:


где - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное, . Функция наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1)


наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода.

Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при ; сходимость распространяется и на единичную окружность, если при сходится во всех точках единичной окружности, кроме . Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности с разрезом (см. [1]). Функция - однозначная аналитическая в комплексной плоскости с разрезом . Если или - нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z.

При Г. ф. не определена, однако


Элементарные соотношения. Шесть функций


наз. смежными с Г. ф. . Между функцией и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,


15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции , где т, п, l- целые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования


Уравнение (1) имеет 24 решения вида


где - линейные функции и связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] - [5]).

Основные интегральные представления. Если и то имеет место формула Эйлера:


Разлагая в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции в область Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]).

Асимптотическое поведение Г. ф. при больших значениях |z| полностью описывается с помощью формул, дающих аналитич. родолжение в окрестность точки (см. [1] - [3]). Если - фиксированные числа и достаточно велико, то при


При имеется аналогичное выражение. Для фиксированных и


См. также [2], [5], [6]. Представления функций через Г. ф. Элементарные функции:


полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода:


присоединенные функции Лежандра:


многочлены Чебышева:


многочлены Лежандра:


ультрасферические многочлены:

многочлены Якоби:


Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф.


наз. решение гипергеометрич. уравнения -го порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф., напр., на случай многих переменных (см. [2]).

Лит.: [1] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 1], пер. с англ.,2 изд.,М., 1973; [3] Градштейн И. С Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5 изд., М 1971; [4] Кummеr Е. Е., "J. reine und angew. Math.", 1835, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [5] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [6] Уиттекер Э. Т., Ватcон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 2, Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [7] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [81 Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959. доп. l; [9] An index of mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962. Э. А. Чистова.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Гипергеометрическая функция — (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда а при   как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого… …   Википедия

  • гипергеометрическая функция — hipergeometrinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hypergeometric function vok. hypergeometrische Funktion, f rus. гипергеометрическая функция, f pranc. fonction hypergéométrique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • КОНФЛЮЭНТНАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что вырожденная гипергеометрическая функция …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция Куммера, функция Похгаммера, решение вырожденного гипергеометрического уравнения В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера: где и параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме комплексное …   Математическая энциклопедия

  • Функция Доусона — вблизи начала координат …   Википедия

  • Функция ошибок — График функции ошибок В математике функция ошибок (функция Лапласа)  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных ур …   Википедия

  • Функция Лапласа — График функции ошибок В математике функция ошибок  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как . Дополнительная функция ошибок,… …   Википедия

  • Функция Эрмита — Функции параболического цилиндра общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,… …   Википедия

  • ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez,… …   Математическая энциклопедия

  • ГАММА-ФУНКЦИЯ, — Г функция, трансцендентная функция , распространяющая значения факториала на случай любого комплексного Г. ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения иа к рого Л. Эйлер… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»