ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МЕТРИКА это:

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МЕТРИКА

гиперболическая мера,- метрика в области комплексной плоскости, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, инвариантная относительно автоморфизмов этой области.

Гиперболическая метрика в круге Е :. определяется линейным элементом


где - линейный элемент евклидовой длины. Введение Г. м. в круге Еприводит к модели Лобачевского геометрии. Роль прямых в данной модели играют дуги евклидовых окружностей, ортогональных к лежащие в Е;роль бесконечно удаленной точки играет окружность . Движениями в ней служат дробно-линейные преобразования круга Ена себя. Гиперболическая длина кривой L, лежащей в круге Е, определяется формулой


Гиперболическое расстояние между точками и круга Еравно


Множество точек круга Е, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки не превосходит заданного числа т. е. гиперболический круг в Ес гиперболич. центром в точке и гиперболич. радиусом R, является евклидовым кругом с центром, отличным от при

Гиперболическая площадь области В, лежащей в Е, определяется формулой


Величины и инвариантны относительно дробно-линейных преобразований круга Ена себя.

Гиперболическая метрика в любой области Dплоскости г, имеющей не менее трех граничных точек, определяется как перенесенная в Dпри конформном отображении области Dна круг Е: гиперболич. метрика круга Е:ее линейный элемент определяется формулой


Область, имеющую не более двух граничных точек, уже нельзя конформно отобразить на круг. Величина


наз. плотностью Г. м. области D. Гиперболич. метрика области Dне зависит ни от выбора отображающей функции, ни от выбора ее ветви и вполне определяется областью Dи положением точек в D. Гиперболич. длина кривой L, лежащей в D, находится по формуле


Гиперболическое расстояние между точками и области Dравно


где - любая функция, конформно отображающая Dна круг Е. Гиперболическим кругом в области D, как и в случае круга , наз. множество точек области D, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки области D (гиперболич. центра) не превосходит заданного положительного числа (гиперболич. радиуса). Если область Dмногосвязна, гиперболич. круг в Dесть, вообще говоря, многосвязная область. Гиперболическая площадь области В, лежащей в D, находится по формуле


Величины являются инвариантами относительно конформных отображений области D(одно из основных свойств Г. м. в D).

Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Стойлов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1-2, М., 1962. Г. В. Кузьмина.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МЕТРИКА" в других словарях:

  • Гиперболическая группа — В алгебре, конечно порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА — метрика r( х, у).в подмножестве Rпроективного пространства Р n такая, что кратчайшая относительно этой метрики является частью или всей проективной прямой. При этом полагают, что Rне принадлежит ни одной гиперплоскости и что 1) для любых трех… …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП — пусть области Dи Gлежат соответственно в плоскостях и и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть функция, регулярная в Dи принимающая значения в G, и пусть и линейные элементы в гиперболич. метрике областей D и G в точках… …   Математическая энциклопедия

  • ШВАРЦА ЛЕММА — если функция f(z) регулярна в круге E={|z|<1 }, f(0)=0 и в E, то при справедливы неравенства причем знаки равенства в них (в первом из неравенств (1) при имеют место только в случае, когда где действительная постоянная (классическая форма Ш. л …   Математическая энциклопедия

  • ТРАНСФИНИТНЫЙ ДИАМЕТР — компактного множества характеристика d=d(E)компактного множества Ена комплексной плоскости, служащая геометрии, интерпретацией емкости этого множества. Пусть Е компактное бесконечное множество плоскости z. Величина где [ а, b]=|а b| евклидово… …   Математическая энциклопедия

  • Теория групп — Группа (математика) Теория групп Осно …   Википедия

  • Неевклидова геометрия — Неевклидова геометрия  в буквальном понимании  любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»