ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС это:

ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС

- действительный случайный процесс любые конечномерные распределения к-рого являются гауссовскими, т. е. характеристич. функции совместных распределений вероятностей случайных величин при любых имеют вид:


где - математич. ожидание и


- корреляционная функция. Распределение вероятностей Г. п. полностью задается его математич. ожиданием A(t).и корреляционной функцией , . Для любой функции A(t).и любой положительно определенной функции существует Г. п. X (t), у к-рого среднее значение и корреляционная функция суть именно A(t).и В(t, s). Многомерный случайный процесс свекторными значениями


наз. гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин


Комплексным Г. п. наз. случайный процесс вида


где действительные в совокупности образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном Г. п. , считают, что выполняется одно дополнительное условие:

EX(s)X(t) = A(s)A(t), где

A(t)=SX(t).

Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно к-рому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом:


где


- корреляционная функция процесса и


Действительный обобщенный случайный процесс на линейном пространстве Uназ. обобщенным Г. п., если его характеристич. функционал имеет вид:


где - математич. ожидание обобщенного процесса


- его корреляционный функционал.

Пусть U - гильбертово пространство со скалярным произведением . Случайная величина Xсо значениями в пространстве Uназ. гауссовской, если случайный процесс вида обобщенный Г. п. Математич. ожидание является линейным непрерывным функционалом, а корреляционная функция - билинейным непрерывным функционалом на гильбертовом пространстве U, причем


где положительный оператор В - корреляционный оператор случайной величины , является ядерным. Для любых таких и существует гауссовская величина такая, что обобщенный процесс имеет средним значением и корреляционной функцией именно

Пример. Пусть - Г. п. на отрезке и пусть процесс измерим, причем


Тогда почти все траектории будут принадлежать пространству интегрируемых в квадрате функций на отрезке Тсо скалярным произведением


Формула


задает обобщенный Г. п. на этом пространстве U. При этом математич. ожидание и корреляционный функционал обобщенного процесса выражаются формулами:


где и - соответствующие математич. ожидание и корреляционная функция исходного процесса на отрезке .

Почти все основные свойства Г. п. (параметр tпробегает произвольное множество Т).могут быть выражены в геометрич. терминах при рассмотрении этого процесса как кривой в гильбертовом пространстве Нвсех случайных величин со скалярным произведением для к-рой


и


Ю. А. Розанов.

Стационарные в узком смысле Г. п. могут быть реализованы посредством нек-рых динамич. систем (сдвиг в пространстве траекторий, см. [1]). Полученные динамич. системы (их иногда наз. нормальными, сравни с нормальным распределением вероятностей) представляют интерес как примеры динамич. систем с непрерывным спектром, свойства к-рых благодаря упомянутому разложению Нмогут быть изучены с большой полнотой. Так были построены первые конкретные примеры динамич. систем с "неклассическими" спектральными свойствами. Д. В. Аносов.

Лит.:[1] Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А., Гауссовские случайные процессы, М., 1970; [3] Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения, пер. с англ., М., 1969; [4] Ito К., "J. Math. Soc. Japan", 1951, v. 3, М 1, p. 157-69; [5] его же, "Japan. J. Math.", 1952, v. 22, p. 63-86.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС" в других словарях:

  • Гауссовский процесс — в теории случайных процессов это вещественный процесс, чьи конечномерные распределения гауссовские. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Примеры …   Википедия

  • Гауссовский процесс — 37. Гауссовский процесс Случайный процесс, все n мерные функции распределения (плотности распределения) вероятностей которого нормальны Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Винеровский процесс — в теории случайных процессов это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Содержание 1 Определение 2 Физический смысл …   Википедия

  • ОРНШТЕЙНА - УЛЕНБЕКА ПРОЦЕСС — гауссовский стационарный случайный процесс V(t).с нулевым математич. ожиданием и экспоненциально затухающей корреляционной функцией вида О. У. п. может быть также определен как стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланжевена) вида… …   Математическая энциклопедия

  • СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — случайный процесс , определённый для всех моментов времени ,стохастич. характеристики к рого не зависят от выбора нач. момента отсчёта(т. е. не меняются при замене Более точно это означает, что для любого набора моментов времени t1,...,tn… …   Физическая энциклопедия

  • ГОСТ 21878-76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения — Терминология ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа: Cross power spectral density function of stationary dependent random processes Определения термина из разных документов: Cross power… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Теорема Карунена — Эта статья или раздел  грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь …   Википедия

  • КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ — действительного случайного процесса функция аргументов t, . определяемая равенством Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех имеет конечный второй момент Параметр tпробегает здесь некоторое… …   Математическая энциклопедия

  • Броуновское движение — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) B(t), когда начальная и конечная точки совпадают: B(0) = B(1) = 0. Стандартный винеровский процесс привязан в начальной точке W(0) = 0, но имеет свободный… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»