Криволинейный интеграл

        интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через

         ,

        где С — заданная кривая, ds — дифференциал её дуги, a f (P) — функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у (х), К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

        

        К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:

        

        и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

         ,

        где х = x (t), у = у (t) (α ≤ t ≤ β) — уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле:

         ;

        здесь α — угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.

         Аналогично определяется К. и. 2-го типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное исчисление.

         Пусть D — некоторая область и С — её граница. При некоторых условиях между К. и. по кривой С и двойным интегралом по области D (см. Кратный интеграл) имеет место соотношение:

        

        (см. Грина формулы), а между К. и. и поверхностным интегралом (См. Поверхностный интеграл) — соотношение:

        

        (см. Стокса формула).

         Особенно большое значение К. и. приобрели в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции). К. и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.

         Лит.: см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.