Кооперативная теория игр

        раздел игр теории (См. Игр теория), в котором игры рассматриваются без учёта стратегических возможностей игроков (тем самым К. т. и. изучает некоторый класс моделей общих игр). В частности, в К. т. и. входит исследование нестратегических (кооперативных) игр, лишённых с самого начала стратегического аспекта. В кооперативной игре задаются возможности и предпочтения различных групп игроков (коалиций) и из них выводятся оптимальные (устойчивые, справедливые) для игроков ситуации, в том числе распределения между ними суммарных выигрышей: устанавливаются сами принципы оптимальности, доказывается их реализуемость в различных классах игр и находятся конкретные реализации. В терминах кооперативных игр поддаются описанию многие экономические и социологические явления.

         Наиболее просто описание т. н. классических кооперативных игр, состоящее в указании: 1) множества игроков J; 2) семейства R_n подмножеств J (коалиций интересов) и 3) функции υ, заданной на R_n и принимающей вещественные значения. [υ(K) можно понимать (иногда — с некоторыми оговорками) как сумму, которую коалиция К может распределить между своими членами.] Обычно (не всегда) функцию υ считают супераддитивной: υ(K ∪ L) ≥ υ(K) + υ(L) при К ∩ L = ∅. Это отражает дополнительные возможности, возникающие у коллективов при их объединении. Для классических кооперативных игр характерна возможность неограниченных передач выигрышей одними игроками другим и притом без изменения их полезности (ценности). Более общим типом игр являются игры без побочных платежей, где на такие передачи накладываются некоторые ограничения.

         Пусть J = {1,..., n}; вектор х= (х₁,..., xn), для которого

         Σ_iez x_it = υ(J)

        и x_i ≥ υ({i}) при всех i ∈ J, называется дележом. Говорят, что делёж х доминирует над дележом у = (y₁,..., y_n), если найдётся такая (предпочитающая его) коалиция К, что

         Σ_iek x_i ≤ υ(K)

        и x _i > y_i для i ∈ K. Оптимальное поведение участников кооперативной игры может состоять в стремлении к множеству дележей, не доминирующих над др. дележами (с-ядро) или множеству не доминирующих друг над другом дележей, которые в совокупности доминируют над всеми остальными дележами (решения по Нейману — Моргенштерну) или к множеству дележей, в которых в некотором смысле минимизируется «недовольство» коалиций (n-ядро) и т. д. Некоторые из принципов оптимальности не всегда реализуются; другие реализуются иногда неоднозначно. Нахождение реализаций часто затруднительно. Т. о., математическая проблема установления оптимального поведения в кооперативных играх является весьма сложной как принципиально, так и технически.

         Лит.: Нейман Дж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Воробьёв Н. Н., Современное состояние теории игр, «Успехи математических наук», 1970, т. 25, в. 2; Оуэн Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971; Rosenmüller J., Kooperative Spiele und Märkte, B.— Hdlb.— N. Y., 1971.

         Н. Н. Воробьев.