Конечных разностей исчисление это:

Конечных разностей исчисление
        раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:
         ΔykΔf (xk) = f (xk+1) - f (xk)
         (разности 1-го порядка),
         Δ2ykΔ2f (xk) = Δf (xk+1)- Δf (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)
         (разности 2-го порядка),
         ΔnykΔnf (xk) = Δn-1f (xk+1) - Δn-1f (xk)
         (разности n-го порядка).
         Соответственно, конечные разности «назад» Δnyк определяются равенствами
         Δnyк = Δnyк + n.
         При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями δny, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+1l2h, а при чётном n в точках х = xi по формулам
         δf (xi + 1/2h) ≡ δyi+1/2 = f (xi+1) - f (xi),
         δ2f (xi) ≡ δ2yi = δyi+1/2,
         δ2m-1f (xi + 1/2h) ≡ δ2т—1yi+1/2 = δ2т—2yi+12т—2yi,
         δ2mf (xi) ≡ δуi = δ2т—1yi+1/2 - δ2т—1yi-1/2
        Они дополняются средними арифметическими
        
        
         где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают
        
         Центральные разности δny связаны с конечными разностями Δny соотношениями
         δуi = Δуi-m,
         δ2т+1yi+1/2 = Δ2m+1yi-m
         Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам
        
         …………………………..……………………
        
         Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Δnyk = f (n)(где xkk+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
         Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
         Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
         F [x,(f (x),...,Δnf (x)] = 0 (1)
        задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
         Ф [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,
        выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
         f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,
        где a1,..., an — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни λ1, λ2,... λn его характеристического уравнения
         λn + a1λn-1+...+an = 0.
        Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
         f (x) = С1λ1х + C2λ2x +... + Cnλnx,
         где C1, C2,..., Cn произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел λ1, λ2,..., λn нет равных).
         Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
         Под редакцией Н. С. Бахвалова.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Конечных разностей исчисление" в других словарях:

  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся …   Большой Энциклопедический словарь

  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… …   Математическая энциклопедия

  • конечных разностей исчисление — раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. * * * КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ… …   Энциклопедический словарь

  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются ф цни при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раз дел математики, в к ром изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Исчисление конечных разностей — Конечной разностью функции от одной или нескольких переменных называется приращение функции при данных конечных приращениях переменных независимых. Под И. конечных разностей разумеют совокупность правил: 1) для определения изменений, которым… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ИСЧИСЛЕНИЕ — (формальная система) система символов, основными компонентами которой являются: 1) алфавит (совокупность элементарных символов букв. цифр, скобок и т.п.), 2) правила построения формул из символов алфавита, 3) аксиомы (исходные доказуемые формулы) …   Философская энциклопедия

  • Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) …   Википедия

  • Исчисление — Этим словом означают отдельные части математики, см. Вариационное И., Дифференциальное И., Интегральное И. и И. конечных разностей …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Дифференциальное и интегральное исчисление — Математический анализ  совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Конечных разностей исчисление» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»