Комплексные числа это:

Комплексные числа
        числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); х называют действительной частью, а у — мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа (См. Действительное число) частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у ≠ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = хiy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i2=1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и φ:, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:
         r (cos φ + i sin φ)
         (тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);
        
         называют модулем К. ч. х+iy, а φ = arg z — аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:
         [r (cos φ + i sin φ)] n = rn (cos nφ + i sin nφ),
        , в частности
        , в частности
        
        , k = 0, 1, …, n—1
         По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует Поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an =0; где a1,..., an К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.
         Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений (См. Кубическое уравнение), оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу eiφ = cosφ + isinφ, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин «К. ч.» предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.
        
         Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.
        Рис. к ст. Комплексные числа.
        Рис. к ст. Комплексные числа.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Комплексные числа" в других словарях:

  • КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА — (мнимые числа) числа вида х = гу, где х и у действительные числа, а г мнимая (см.); х называется действительной частью комплексного числа, а у мнимой …   Большая политехническая энциклопедия

  • Комплексные числа — Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Комплексные[1][2] числа  расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где… …   Википедия

  • КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА — числа вида х + iy, где х и у действит. числа, at т. н. мнимая единица (число, квадрат к рого равен 1); х наз. действит. частью К. ч. z = х + iy, а у мнимой (обозначают: х = Re z, у = Im z). Действит. числа частные случаи К. ч. (при у = 0); К. ч …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Комплексные числа (значения) — Комплексные числа: Комплексные числа в математике расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и вещественные числа, мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению …   Википедия

  • Целые комплексные числа —         гауссовы числа, числа вида а + bi, где а и b целые числа (например, 4 7i). Геометрически изображаются точками комплексной плоскости, имеющими целочисленные координаты. Ц. к. ч. введены К. Гауссом в 1831 в связи с исследованиями по теории… …   Большая советская энциклопедия

  • Комплексные логарифмы — Рис. 1. Графики логарифмических функций Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны. Пример …   Википедия

  • КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА — (complex conjugates) Пара комплексных чисел, действительные части которых равны, а мнимые части равны и противоположны по знаку. Таким образом, если а и b являются какими либо действительными числами, то (a+ib) и (a–ib)– комплексные сопряженные… …   Экономический словарь

  • Комплексные соединения — Цис платин  одно из многих координационных соединений Комплексные соединения (лат. complexus  сочетание, обхват) или координационные соединения (л …   Википедия

  • Числа Кэли — Алгебра Кэли  определённый тип гиперкомплексных чисел, 8 мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Число Кэли  это линейная комбинация… …   Википедия

  • Мнимые числа —         числа вида х + iy, где х и у действительные числа и у ≠ 0, т. е. Комплексные числа, не являющиеся действительными; М. ч. вида iy называются чисто мнимыми (иногда только их называют М. ч.). Термин «М. ч.» возник, когда эти числа уже вошли… …   Большая советская энциклопедия

Книги

  • Комплексные числа, Александр Шахмейстер. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее  Купить за 148 руб
  • Комплексные числа, Шахмейстер А.Х.. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее  Купить за 142 руб
  • Комплексные числа, А. Х. Шахмейстер. Данное пособие предназначено для углубленного изучения школьного курса математики, содержит большое количество разноуровневого тренировочного материала. В книге представлена программа для… Подробнее  Купить за 135 руб
Другие книги по запросу «Комплексные числа» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»