Интегральная геометрия это:

Интегральная геометрия
        раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна удовлетворять требованиям: 1) аддитивности (Мера множества, состоящего из нескольких частей, равна сумме мер этих частей), 2) инвариантности относительно движений (два множества, отличающиеся только положением, имеют одинаковые меры). К И. г. относятся прежде всего задачи нахождения длин, площадей и объёмов, решаемые посредством интегрирования (соответственного простого, двойного и тройного).
         Толчком для развития И. г. послужили задачи, относящиеся к так называемым геометрическим вероятностям, определяемым как отношение меры множества благоприятных случаев к мере множества всех возможных случаев (по аналогии с классическим определением вероятности, как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев). Первым и наиболее известным примером является «задача Бюффона» (1777): на плоскость, покрытую рядом параллельных прямых, среди которых каждые две соседние находятся на расстоянии h, падает случайным образом тонкая цилиндрическая игла, длина l которой меньше расстояния h между параллелями; какова вероятность того, что игла пересечёт одну из этих прямых. Эта задача равносильна следующей: какова вероятность того, что наудачу взятая секущая круга (диаметра h) пересечёт данный отрезок длины l < h с серединой в центре круга. Эту вероятность определяют как отношение «меры» множества прямых, пересекающих данный отрезок, к «мере» множества прямых, пересекающих данный круг. «Меру» множеств прямых, состоящих из секущих выпуклых фигур с контурами конечной длины, вводят так, чтобы выполнялись сформулированные выше два требования: аддитивности и инвариантности.
         В случае множества всех прямых, пересекающих прямолинейный отрезок, мера этого множества должна быть, в силу инвариантности относительно движений, функцией только длины отрезка. Из требования аддитивности меры следует, что эта функция f (x) должна быть аддитивной: f (x + y) = f (x) + f (y), а отсюда вытекает f (x) = Cx, где C — постоянная. Итак, на плоскости мера множества всех прямых, пересекающих данный отрезок, должна быть пропорциональна его длине. Коэффициент пропорциональности удобно принять равным 2, т. е. условиться, что за меру множества прямых, пересекающих отрезок длины 1, принимается число 2. Тогда мера множества прямых, пересекающих любой отрезок, окажется равной удвоенной его длине.
         Рассматривая множество прямых, пересекающих (каждая в двух точках) контур некоторого выпуклого многоугольника, можно вывести, что мера рассматриваемого множества равна просто периметру.
         Переходя, наконец, к множеству прямых, пересекающих выпуклую замкнутую линию («овал»), нетрудно установить, что на плоскости мерой множества прямых, пересекающих данную выпуклую линию, должна быть длина этой линии.
         В задаче Бюффона имеют в качестве меры множества благоприятных случаев удвоенную длину (2l) иглы, а для меры множества возможных случаев — длину (πh) окружности диаметра h; поэтому искомая вероятность р = 2l/πh. Этот результат не раз проверялся на опытах с бросанием иглы. В одном из таких опытов было произведено 5000 бросаний; при l = 36 мм, h = 45 мм получилась частота пересечений 0,5064, что даёт приближённое значение для π = 3,1596.
         С некоторыми видоизменениями изложенная теория может быть перенесена на множества прямых, пересекающих невыпуклые контуры. Вообще, для двухпараметрических множеств прямых на плоскости мера (μ) может быть определена формулой μ = ∫∫dρdφ, где ρ, φ — полярные координаты проекции полюса на прямую. Если прямая задана уравнением ux + uy = 1 (x, y — прямоугольные координаты точки), то
         В конце 19 — начале 20 вв. исследования по И. г. ещё связаны с геометрическими вероятностями (работы английского математика М. Крофтона, французского математика А. Пуанкаре), но уже в работе французского математика Э. Картана (1896) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20-х гг. 20 в. складываются в самостоятельную теорию с разнообразными приложениями: к геометрии «в целом», прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.
         В конце 19 — начале 20 вв. исследования по И. г. ещё связаны с геометрическими вероятностями (работы английского математика М. Крофтона, французского математика А. Пуанкаре), но уже в работе французского математика Э. Картана (1896) они входят в общую теорию интегральных инвариантов, а в 20-х гг. 20 в. складываются в самостоятельную теорию с разнообразными приложениями: к геометрии «в целом», прежде всего к изучению выпуклых областей, к геометрической оптике и теории излучения.
         Лит.: Бляшке В., Лекции по интегральной геометрии, пер. с нем., «Успехи математических наук», 1938, в. 5; Вlaschke W., Vorlesungen über Integralgeometrie, H. 2. B.—Lpz., 1937.
         Я. С. Дубнов.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Интегральная геометрия" в других словарях:

  • ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — теория инвариантных (относительно непрерывных групп отображений пространства на себя) мер на множествах, состоящих из подмногообразий пространства (напр., прямых, плоскостей, геодезических, выпуклых поверхностей и т. п. многообразий, сохраняющих… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • Объём (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём  это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого… …   Википедия

  • Распределение (дифференциальная геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Распределение. Распределением на многообразии называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке выбрано линейное подпространство касательного… …   Википедия

  • ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество вместе с заданным на нем транзитивным действием нек рой группы. Точнее, Месть однородное пространство группы G, если задано отображение множества в Мтакое, что: 1) 2) 3)для любых существует такой что Элементы множества Мназ. точками О.… …   Математическая энциклопедия

  • Бляшке, Вильгельм — Вильгельм Иоганн Эуген Бляшке Дата рождения: 13 сентября 1885 …   Википедия

  • Бляшке Вильгельм — Вильгельм Иоганн Эуген Бляшке Дата рождения: 13 сентября 1885 Место рождения: Грац, Австрия Дата смерти: 17 марта 1962 Место смерти: Гамбург, Германия Научная сфера …   Википедия

  • Вильгельм Бляшке — Вильгельм Иоганн Эуген Бляшке Дата рождения: 13 сентября 1885 Место рождения: Грац, Австрия Дата смерти: 17 марта 1962 Место смерти: Гамбург, Германия Научная сфера …   Википедия

  • Distribution (Mathematik) — Eine Distribution bezeichnet im Bereich der Mathematik eine besondere Art eines Funktionals, also ein Objekt aus der Funktionalanalysis. Die Theorie der Distributionen ermöglicht es, Ableitungen für Funktionen zu bestimmen, die im klassischen… …   Deutsch Wikipedia

Книги

Другие книги по запросу «Интегральная геометрия» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»