Движение (в геометрии)

Движение в геометрии, преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры, форму и др. ) Понятие Д. сформировалось путем абстракции реальных перемещении твердых тел. Д. евклидова пространства — геометрическое преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками. Д. называют собственным или несобственным в зависимости от того, сохраняет ли оно или меняет ориентацию, Д. есть ортогональное преобразование.

Собственное Д. на плоскости может быть задано в прямоугольной системе координат (х, у) посредством следующих формул:

х = xcosj — ysinj + a,

у = xsinj + ycosj + b,

показывающих, что совокупность всех собственных Д. на плоскости зависит от трёх параметров а, b и j, которые характеризуют соответственно параллельный перенос плоскости на вектор (а, b) и её поворот вокруг начала координат на угол j. Всякое собственное Д. может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки. Любое несобственное Д. представимо в виде произведения (последовательного осуществления) параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же самое направление. Собственное Д. в пространстве есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или же может быть представлено в виде винтового движения (вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси).

Несобственное Д. в пространстве есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости, Д. в пространстве аналитически может быть представлено посредством линейного преобразования с ортогональной матрицей, определитель которой равен 1 или -1, в зависимости от того, является Д. собственным или несобственным, Понятие Д. переносится в римановы пространства, в пространства аффинной связности. Важную роль понятие Д. играет в римановых пространствах теории относительности (сильная асимметрия гравитационных полей накладывает ограничения на движения твёрдых тел в таких пространствах). Д. может быть принято в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. В этом случае вместо аксиом конгруэнтности вводятся аксиомы Д. Конгруэнтность отрезков, углов и др. фигур определяется через понятие Д. (фигуры называются конгруэнтными, если одна переходит в другую при помощи некоторого Д.). Совокупность Д. образует группу.

Лит.: Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1,3 изд., М., 1948; ч 2, [2 изд.], М.. 1951; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968.

Э. Г. Позняк.