Векторное пространство

        математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) Векторов обычного трёхмерного пространства.

         Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

         1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

         2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);

         3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;

         4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,

         5) 1 · х = х,

         6) α(βx) = (αβ) х (ассоциативность умножения);

         7) (α + β) х = αх + βх (распределительное свойство относительно числового множителя);

         8) α(х + у) = αх + αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).

         Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение

         α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_ne_n (1)

         называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами α₁, α₂,..., α_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α₁, α₂,..., α_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.

         Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).

         В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

         x = α₁e₁ + α₂e₂ +... + α_ne_n.

         При этом числа α₁, α_2,..., α_n называются координатами вектора х в данном базисе.

         Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: λ ₁, λ ₂,..., λ _n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

         (λ₁, λ₂, …, λ_n) + (μ₁, μ₂, …, μ_n) = (λ₁ + μ₁, λ₂ + μ₂, …, λ_n + μ_n);

         α(λ₁, λ₂, …, λ_n) = (αλ₁, αλ₂, …, αλ_n).

         Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).

         Множество R всех многочленов α₀ + α₁u + … + α_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α₀, α₁,..., α_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u²,..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.

         Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u²,..., uⁿ.

         Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' ⊆ R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v ∈ r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁, v₂ ∈ R') вектор λv (при любом λ) и вектор v₁ + v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_px_p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁, x₂,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени ≤ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u²,..., uⁿ), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.

         Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

         1) (х, у) = (у, х) (перестановочность);

         2) (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x₂, y) (распределительное свойство);

         3) (αx, у) = α(х, у),

         4) (х, х) ≥ 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0.

         Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством (См. Гильбертово пространство). Длина |x| вектора x и угол х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами

        

         Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство Eⁿ получим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (λ₁, …, λ_n) и y = (μ₁, …, μ_n) соотношением

         (x, y) = λ₁μ₁ + λ₂μ₂ +… + λ_nμ_n. (2)

         При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

         В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве Eⁿ условие ортогональности векторов x = (λ₁, …, λ_n) и y = (μ₁, …, μ_n), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

         λ₁μ₁ + λ₂μ₂ +… + λ_nμ_n = 0. (3)

         Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yⁿ + a₁(x) y ^{(n + 1)} + … + a_n (x) y = 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

        

         Рассмотрим в евклидовом пространстве Eⁿ векторы a_i = (α_i1, α_i2, …, α_in), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u₁, u₂,..., u_n). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов Eⁿ, придадим системе (4) следующий вид:

         (a_i, u) = 0, i = 1, 2, …, m. (5)

         Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам a_i. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов a_i, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов a_i. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства (См. Линейное пространство). Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.

         Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И, М., Лекции по линейной алгебре, М. — Л., 1948.

         Э. Г. Позняк.