Штурма - Лиувилля задача это:

Штурма - Лиувилля задача
        задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения
         -[p (x) y']' + q (x) y = λy, (1)
         удовлетворяющих граничным условиям вида
         A1y (a) + B1y'(a) = 0, А2у (b) + B2y'(b) = 0
         (т. н. собственных функций (См. Собственные функции)), а также о нахождении значений параметра λ (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р (х), q (x) Ш.—Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида
         -y" + q (x) y = λy. (2)
         Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем (См. Лиувилль) и Ж. Ш. Ф. Штурмом.
         Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.— Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.— Л. з. для уравнения —у" = λу с граничными условиями y (0) = y (π) = 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 12, 22,..., n2,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, π] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q (x) в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b], a A1, B1, A2, B2 действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений λ1,..., λп,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из λп соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция φп (х), имеющая n нулей на участке а < х < b. Функции φп (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р (х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе φп (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.― Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения —у" = λу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.— Л. з.
         Иногда Ш.— Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:
         αiy (а) + βiy'(а) + γiy (b) + δiy'(b) = 0, i = 1, 2,
         где αi, βi, γi, δi — постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а) = у (b), y'(a)=y'(b) (периодические условия) и у (а)= —у (b), у'(а) = —y'(b) (полупериодические условия).
         Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.— Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A1y (0)+B1y'(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций φ(х, λ), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра λ. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида
        
        ,
         где ρ(λ) некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу. При этом
        
        
         и
        .
        .
         Аналогичные факты имеют место и для Ш.— Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.—Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции ρ(λ). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.
         Ш.— Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.
         Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.— Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.— Л., 1950.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Штурма - Лиувилля задача" в других словарях:

  • Задача двух генералов — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • Точнорешаемая задача — В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность… …   Википедия

  • Суворов, Александр Васильевич — (князь Италийский, граф Рымникский) — генералиссимус Российских войск, фельдмаршал австрийской армии, великий маршал войск пьемонтских, граф Священной Римской империи, наследственный принц Сардинского королевского дома, гранд короны и кузен …   Большая биографическая энциклопедия

  • Кутузов, Михаил Илларионович — князь Михаил Илларионович Кутузов (Голенищев Кутузов Смоленский), 40 й генерал фельдмаршал. Князь Михаил Илларионович Голенищев Кутузов [Голенищевы Кутузовы произошли от выехавшего в Россию к великому князю Александру Невскому из Германии… …   Большая биографическая энциклопедия

  • Разгон Верховного Совета России — Разгон Съезда народных депутатов и Верховного Совета Российской Федерации …   Википедия

  • Взятие горы Маковка — Первая мировая война Дата апрель май 1915 года Место Лесистые Карпаты Итог …   Википедия

  • Альфа (спецподразделение) — У этого термина существуют и другие значения, см. Альфа (значения). «Альфа» Управление «А» ЦСН ФСБ …   Википедия

  • брейнсторминг — см. атака мозговая. Словарь практического психолога. М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998. брейнсторминг …   Большая психологическая энциклопедия

  • Артиллерийский бой — АРТИЛЛЕРІЙСКІЙ БОЙ. Полевая легкая арт. Основныя боевыя ея свойства: а) способность наносить пораженіе живымъ цѣлямъ, какъ неподвижнымъ, такъ и находящимся въ движеніи, даже когда онѣ защищены закрытіями; б) способность къ воздѣйствію на духъ… …   Военная энциклопедия

  • Знамя Победы — Штурмовой флаг 150 й ордена Кутузова II степени Идрицкой стрелковой дивизии …   Википедия

  • Navy Field — Значимость предмета статьи поставлена под сомнение. Пожалуйста, покажите в статье значимость её предмета, добавив в неё доказательства значимости по частным критериям значимости или, в случае если частные критерии значимости для… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Штурма - Лиувилля задача» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»