Кольцо это:

Кольцо
        алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n, 3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из Многочленов или матриц (См. Матрица), см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.
         Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции — сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R — их сумму и один элемент ab из R — их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы К.):
         I. Коммутативность сложения:
        а+b=b+ а.
         II. Ассоциативность сложения:
         а + (b + с) = (а + b) + с.
         III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х = b допускает решение х = b—a.
         IV. Дистрибутивность: а (b + с) = ab+ac, (b + с) а = ba + са.
         Перечисленные свойства показывают, что элементы К. образуют коммутативную группу (См. Группа) относительно сложения. Дальнейшими примерами К. могут служить множества; 4) всех действительных чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b; 7) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 10) всех кватернионов (См. Кватернионы); 11) всех чисел Кэли — Диксона, то есть выражений вида α + βе, где α, β — кватернионы, е — буква; сложение и умножение чисел Кэли — Диксона определяются равенствами (α + βе) + (α1 + β1e) = (α + α1) + (β + β1) e, (α + βе)(α1 + β1e) = (αα1 — β1) + (αα1 + βα̅) e, где α̅ — кватернион, сопряжённый к α; 12) всех симметрических матриц (См. Симметрическая матрица) порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения аb = аb + ba); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
         Во многих случаях на умножение в К. налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то К. называют ассоциативным (примеры 1—10); если в К. выполняются равенства (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом (пример 11); если в К. выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом (пример 12); если в К. выполняются равенства а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a2 = 0, то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab = ba, то К. называют коммутативным (примеры 1—8, 12). Операции сложения и умножения в К. во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами. Так, элементы К. можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент —а, что а + (—a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8—9, 12—13 можно убедиться, что К. может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля. Ассоциативное коммутативное К. без делителей нуля называют областью целостности (примеры 1—7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком К. возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а≠0, то К. называют телом (примеры 3—5, 10, 11). Ассоциативное коммутативное тело принято называть полем (примеры 3— 5) (см. Поле алгебраическое). Весьма важны для многих отделов алгебры К. многочленов с одним или несколькими переменными над произвольным полем и К. матриц над ассоциативными телами, определяемые аналогично К. примеров 7 и 9. Многие классы К. всё чаще находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: К. функций и К. операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные тела, применяемые в проективной геометрии; так называемые дифференциальные К. и поля, отразившие интересную попытку применить теорию К. к дифференциальным уравнениям.
         При изучении К. большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение RR' кольца R на кольцо R', что из а a', b b' следует а + b a' +b' и aba'b'. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R' изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.
         Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr) лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а — b принадлежит М. Всё К. разбивается на классы сравнимых элементов — классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют К. — фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R', то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R, и R' изоморфно R/M.
         Среди различных типов К. легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых α из Р и r из R определено произведение αr также из R, причём (α + β) r = αr + βr, α(r + s)= αr + αs, (αβ) r = α(βr), α(rs) = (αr) s = r s), εr = r для любых α, β из Р и r, s из R, где ε — единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость), то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа). Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга n2 над Р), К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), К. примера 8 и др.
         Для целых чисел и К. многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых К. главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы К., то есть К., где любому элементу а ≠ 0 соответствует неотрицательное целое число n (a), причём n (ab) ≥ n (a) и для любых а и b ≠ 0 существуют такие q и r, что а = bq +r и либо n (r)(b), либо r = 0. Таковы, например, К. многочленов и К. примеров 1 и 6. Для широкого класса К. верна теорема об однозначном разложении Идеала в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется. Основы теории разложения идеалов и абстрактных К. были заложены Э. Нётер (в 20-х гг. 20 в.).
         Одним из первых в России теорией К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым К., а именно — к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.
         Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. — Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М. — Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Синонимы:

Смотреть что такое "Кольцо" в других словарях:

  • Кольцо — (от древнерусск. «коло»  круг)  круглый объект с отверстием внутри (пример: тор или полноторие). В Викисловаре есть статья «ко …   Википедия

  • кольцо — сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? кольца, чему? кольцу, (вижу) что? кольцо, чем? кольцом, о чём? о кольце; мн. что? кольца, (нет) чего? колец, чему? кольцам, (вижу) что? кольца, чем? кольцами, о чём? о кольцах 1. Кольцо это предмет в …   Толковый словарь Дмитриева

  • кольцо — а; мн. кольца, колец, кольцам; ср. 1. Предмет в виде обода, обруча из металла, дерева или другого материала. Портьерные кольца. Кольца карниза. Бросать мяч в к. (в баскетболе). Жонглировать кольцами. Калитка с железным кольцом щеколды. К.… …   Энциклопедический словарь

  • КОЛЬЦО — ср. колечко, кольчико; кольчище, кольчишко; обод. обруч, круг с проемом, дырой; окружность, круглая рамка. Кольцо на палец, бывает гладкое, без насадки; перстень со щитком, с каменьями. Обручальное, венчальное кольцо, которым, по общему обычаю,… …   Толковый словарь Даля

  • КОЛЬЦО — КОЛЬЦО, кольца, мн. кольца, колец, кольцам, ср. 1. Предмет (чаще всего из металла) в форме обода, круга, с пустым пространством внутри линии круга. Кольцо для ношения ключей. Взявшись за кольцо, я открыл калитку. Гимнастические упражнения на… …   Толковый словарь Ушакова

  • кольцо — Перстень. См …   Словарь синонимов

  • кольцо — КОЛЬЦО1, а, мн кольца, колец, кольцами, cр, чего, какое. Предмет в форме окружности, ободка, обруча из какого л. материала, чаще всего металла. Калитка с железным кольцом щеколды. Ганин поднялся на второй этаж и дернул кольцо звонка (Наб.). Ганин …   Толковый словарь русских существительных

  • КОЛЬЦО — понятие современной алгебры. Кольцо совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел …   Большой Энциклопедический словарь

  • кольцо — кольцо, кольца, кольца, колец, кольцу, кольцам, кольцо, кольца, кольцом, кольцами, кольце, кольцах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • Кольцо — жаргон действия андеррайтеров по поддержанию заинтересованности инвестора в новом выпуске ценных бумаг. Инвестор, взятый в кольцо , обязуется приобрести выпуск, если он производится по оговоренной цене. По английски: Circle См. также:… …   Финансовый словарь

  • КОЛЬЦО — КОЛЬЦО, а, мн. кольца, колец, кольцам, ср. 1. Предмет в форме окружности, ободка из твёрдого материала. Связка ключей на кольце. Гимнастические кольца (спортивный снаряд). 2. Украшение такой формы, надеваемое на палец. К. с бирюзой. Руки в… …   Толковый словарь Ожегова

Книги

  • Кольцо, Даниэла Стил. Дочь немецкого банкира и утонченной красавицы Ариана фон Готхард в юные годы перенесла немало горя. В нацистской Германии она лишилась всего, чем дорожила, потеряла семью. Однако Ариане было… Подробнее  Купить за 520 руб
  • Кольцо, Даниэла Стил. Блестящая красавица Кассандра фон Готхард, ее муж - банкир, подрастающие дети, любовник Кассандры, известный писатель Штерн, - жизнь всех этих людей рушится, сломленная поднимающим голову… Подробнее  Купить за 280 руб
  • Кольцо, Даниэла Стил. Роман популярной американской писательницы Даниэлы Стил "Кольцо" огромными тиражами был издан в США и во многих других странах. Действие романа разворачивается напротяжении десятилетий… Подробнее  Купить за 230 руб
Другие книги по запросу «Кольцо» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»