Цилиндрические функции это:

Цилиндрические функции
        весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), являющихся решениями дифференциального уравнения:
         где ν — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид: (1)
        где ν — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:
        
        [где Г (z) — Гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка ν. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:
        
         Если ν — целое отрицательное: ν = — n, то Jν(x) определяется так:
         J-n (x) = (— 1) n Jn (x).
         Ц. ф. порядка ν = m + 1/2, где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:
        
         Функции Jν(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (См. Бессель) (Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка 1/3 в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).
         Если ν не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид
         y = C1Jν(x) + C2J-ν(x), (2)
        где C1 и C2 — постоянные. Если же ν — целое, то Jν(x) и J-ν(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):
         При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
         При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
         у = C1Jν(x) + C2Yν(x)
        (как при целом, так и при нецелом ν).
         В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента
и
        и
         (функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
        (функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению
         общее решение которого имеет вид
        общее решение которого имеет вид
         y = C1lν(x) + C2Kν(x)
        (как при целом, так и нецелом ν). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)
        
         ,
        а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением
         ber (x) + i bei (x) = I0(x Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента: ).
         Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:
        
        
        
        
        из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. Jν(x) и Yν(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,
         Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
         Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Цилиндрические функции" в других словарях:

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (функции Бесселя) решения Zv(z )ур ния Бесселя где параметр (индекс) v произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур ние, зависящее от четырёх параметров: решения к рого выражаются через Ц …   Физическая энциклопедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией …   Большой Энциклопедический словарь

  • Цилиндрические функции — Цилиндрические функции  общее название для специальных функций одного переменного, являющихся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики,… …   Википедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — бесселевы функции, решения Zv дифференциального уравнения Бесселя где v произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение). Цилиндрические функции произвольного порядка. Если vне является целым числом, то общее решение… …   Математическая энциклопедия

  • цилиндрические функции — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией. * * * ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, решения уравнения… …   Энциклопедический словарь

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Бесселя функции, ф ции, встречающиеся при решении задач, имеющих осевую симметрию (напр., задачи о распространении теплоты в однородном бесконечном круговом цилиндре) …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физ. процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрич. симметрией …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МАГНИТНЫЕ ДОМЕНЫ — «магнитные пузырьки», изолированные однородно намагниченные подвижные области ферро или ферримагнетика (домены), имеющие форму круговых цилиндров и направление намагниченности, противоположное направлению намагниченности остальной его части (рис …   Физическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Цилиндрические функции» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»