Хи-квадрат распределение

(«Хи-квадра́т» распределе́ние)

        с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов

         χ² = X₁²+...+X_f²,

        независимых случайных величин X₁,..., X_f, подчиняющихся нормальному распределению (См. Нормальное распределение) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом

        

         Первые три Момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы χ² равны соответственно f, 2f, 8f. Сумма двух независимых случайных величин χ₁² и χ₂², с f₁ и f₂ степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f₁ + f₂ степенями свободы.

         Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению (См. Рэлея распределение) и Максвелла распределению (См. Максвелла распределение). В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение:

        

         Если количество слагаемых f суммы χ² неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме (См. Предельные теоремы) распределение нормированного отношения

        

        где

        

        

         Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления F_f (x) при больших значениях f:

        

         В математической статистике «Х.-к.» р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y₁,..., Y_n — случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а, причём ошибки измерений Y_i — а независимы, распределены одинаково нормально и

         Е (Y_i — a) = 0, Е (Y_i — а)² = σ²,

        то статистическая оценка неизвестной дисперсии σ² выражается формулой

        

        где

        

         Отношение S²/σ² подчиняется «Х.-к.» р. с f = n — 1 степенями свободы. Пусть x₁ и x₂ — положительные числа, являющиеся решениями уравнений F_f (x₁) = α/2 и F_f (x₂) = 1 — α/2 [α — заданное число из интервала (0, ¹/₂)]. В таком случае

         Р {х₁ < S²/σ² < x₂) = Р {S²/x₂ < σ² < S²/x₁} = 1—α.

         Интервал (S²/x₁, S²/x₂) называют доверительным интервалом для σ², соответствующим коэффициенту доверия 1 — α. Такой способ построения интервальной оценки для σ² часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой σ² = σ₀²(σ₀² — заданное число): если σ₀² принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе σ² = σ₀². Если же

         σ₀² ≤ S²/x² или σ₀² ≥ S²/x₁,

        то нужно считать, что σ² > σ₀² или σ² < σ₀² соответственно. Такому критерию отвечает Значимости уровень, равный α.

         Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.

         Л. Н. Большев.