Характеристика (в математике)

Характеристика в математике, 1) целая часть десятичного логарифма.

2) Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Х. дифференциального уравнения 1-го порядка

,

(1)

где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) ‒ заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений

.

(2)

Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j(x, y, z) = C1, y(x, y, z) = C2 (C1, C2 ‒ произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P, Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Х., пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F[j(x, y, z), y(x, y, z)] = 0, где F ‒ некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача), достаточно построить геометрическое место Х., пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Х. Понятие Х. обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.

Х. дифференциального уравнения 2-го порядка

(3)

были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение

.

(4)

Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x(x, y) = C1 и h(х, у) = C2 (C1, C2 ‒ произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду

.

Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду

.

Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x ╠ ih = C, то уравнение (3) преобразуется к виду

.

Значения решения и вдоль Х. и значения

и

в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u,

и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.

Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u,

и

(квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.

Лит. см. при ст. Уравнения математической физики.