Фурье ряд это:

Фурье ряд
        Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид
        
        где a0, an, bn (n ≥ 1) — Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2π-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
         Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций), а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)
         обращают в минимум интеграл
        обращают в минимум интеграл
        
        где tn (x) — произвольный тригонометрический полином порядка ≤ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом
        
        так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).
         Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье an, bn при n → ∞ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд
        
         Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an, bn со сходящимся рядом
         Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и её модуль непрерывности ω(δ, f) удовлетворяет условию
         Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x0 зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x0 функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x0 — 0) и f (x0 + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x0, то он сходится к значению 1/2{f (x0 — 0) + f (x0 + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).
         Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (—π, π) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера
        
        при n → ∞ равномерно сходятся к f (x) (Л. Фейер, 1904).
         Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Фурье ряд" в других словарях:

  • Фурье ряд — тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ π, π] функции f(х) вычисляются по формулам Эйлера Фурье: , , k = 1, 2, ... Частные суммы фурье ряда  важный аппарат приближённого представления функции f(х). Фурье ряды… …   Энциклопедический словарь

  • ФУРЬЕ РЯД — тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке ФУРЬЕ Шарль (1772 1837) французский социалист. Подверг критике современный строй цивилизации и разработал проект плана будущего общества строя гармонии , в котором должны… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ФУРЬЕ РЯД — ряд функций f(x) относительно ортонормированной системы функций: φ1(х), φ2(x),..., φк(x),...,(1) заданных на отрезке [а, b], есть ряд где коэф. Фурье .Часто за систему функций (1) берут: п = 1,2,3.., если f(x) периодическая функция …   Геологическая энциклопедия

  • Фурье ряд — Ряд Фурье  представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда Этот ряд может быть также переписан в виде . где Ak  амплитуда k го гармонического колебания (функции cos),   кру …   Википедия

  • ФУРЬЕ РЯД — функции f(х)по ортонормированной на промежутке ( а, b )системе функций ряд коэффициенты к рого определяются по формулам и наз. коэффициентами Фурье функции f. О функции f в общем случае предполагается, что она интегрируема с квадратом на ( а, b) …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — почти периодической функции ряд вида где Фуръе показатели, а п Фурье коэффициенты почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует любой числовой почти периодич. функции. Поведение Ф. р. существенно зависит от структуры множества показателей… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — по ортогональным многочленам ряд вида где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты { а n} вычисляются но формуле причем функция f(x) входит в класс функций L2=L2[a, b, h… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — тригонометрический ряд, коэф. к рого для заданной на отрезке [ ПИ, ПИ] функции f(x) вычисляются по ф лам Эйлера Фурье: Частные суммы Ф. р. важный аппарат приближённого представления функции f(х). Ф. р. получили большое применение в работах Ж.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Фурье Жан Батист Жозеф — Фурье (Fourier) Жан Батист Жозеф (21.3.1768, Осер, ≈ 16.5.1830, Париж), французский математик, член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, работал там же преподавателем. В 1796≈98 преподавал в Политехнической школе. ═ Первые труды Ф …   Большая советская энциклопедия

  • РЯД ФУРЬЕ — см. Фурье ряд. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

Книги

  • Сочинения, Карл Маркс. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Второй том Сочинений К. Маркса и Ф. Энгельса содержит произведения, написанные с сентября 1844 по… Подробнее  Купить за 1328 руб
  • Ряд Фурье, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Высшая математика, Лакерник А. Р.. В полном объеме изложен курс математического анализа и высшей математики, изучаемый в вузах по направлениям (специальностям) техники и технологии, включая теорию пределов, непрерывность… Подробнее  Купить за 350 руб
Другие книги по запросу «Фурье ряд» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»