Фурье преобразование это:

Фурье преобразование
(данной функции)
        функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:
        
         Если функция f (x) чётная, то её ф. п. равно
        
        (косинус-преобразование), а если f (x) — нечётная функция, то
        
        (синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций
        
        а для нечётных функций
        
         В общем случае имеет место формула
        
         Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x). Например, Ф. п. f'(x) является iug (u). Если
        
        то g (u) = g1(u) g2(u). Для f (x + а) Ф. п. является eiuag (u), а для c1f1(x) + c2f2 (x) функция c1g1(u) + c2g2(u).
         Если существует Сходимость), причём
        
        (теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) → g (u) является унитарным оператором (См. Унитарный оператор) в гильбертовом пространстве функций f (x), — ∞ < x < ∞, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде
        
         При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона
        
        находящая применение в теории тэта-функций (См. Тэта-функции).
         Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw. Например, если существует а > 0, то Ф. п. определено при |w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование)
        
         Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)–1f (x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (См. Обобщённые функции) (т. н. медленного роста).
         Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп (См. Непрерывная группа). Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции φ(x) Стилтьеса интегралом
        
        и называется характеристической функцией распределения φ. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u1,..., un, ξ1,...,ξn было
         (теорема Бохнера — Хинчина).
        (теорема Бохнера — Хинчина).
         Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля), широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
         Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Фурье преобразование" в других словарях:

  • Фурье преобразование — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразование, действующее в пространстве ф ций п действительных переменных: Для суммируемых во всём пространстве Rn ф ций Ф L1(Rn )интеграл (*) корректно определяет нек рую ф цию F[j ] ( х) =y( х) фурье образ ф ции j. Обратное… …   Физическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — одно из интегральных преобразований, линейный оператор F, действующий в пространстве, элементами к рого являются функции f(х)от пдействительных переменных. Минимальной областью определения Fсчитается совокупность бесконечно дифференцируемых… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — обобщенной функции расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщенные функции. Пусть К пространство основных функций, на к ром определена операция преобразования Фурье F, причем F изоморфизм Кна пространство основных… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЕ — преобразование, используемое для гармонич. анализа функций, заданных на дискретном множестве точек. Если на множестве точек функция задана своими значениями Т> 0 период функции, то Ф. п. д. вектора х= (х 0, x1, ..., xN 1) есть вектор где F… …   Математическая энциклопедия

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года[1]. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… …   Википедия

  • ФУРЬЕ-ОПТИКА — раздел оптики, в к ром преобразование световых полей оптич. системами исследуется с помощью фурье анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации. Начало использования в оптике идей спектрального разложения связано с именами Дж.… …   Физическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ-СПЕКТРОМЕТР — спектральный прибор, в к ром искомый спектр получают в два приёма: сначала регистрируется интерферограмма исследуемого излучения, а затем через её фуръе преобразование вычисляют искомый спектр. Совокупность спектральных методов, осуществляемых с… …   Физическая энциклопедия

  • Преобразование Гегенбауэра — Преобразование Гегенбауэра  интегральное преобразование функции : где   многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то им …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Фурье преобразование» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»