Уникурсальная кривая это:

Уникурсальная кривая
(от уни… (См. Уни...) и лат. cursus — бег, путь)
        (матем.), плоская кривая,, которая может быть задана параметрическими уравнениями x = φ (t), y = ψ (t), где φ (t) и ψ (t) — рациональные функции параметра t. Важнейшие теоремы об У. к.: если алгебраическая кривая имеет максимальное число двойных точек, допускаемое ее порядком, то она уникурсальна; обратная ей: всякая У. к. является алгебраической кривой с максимальным числом двойных точек, допускаемых ее порядком. В формулировке этих теорем предполагается, что точки высшей кратности пересчитаны по определенным правилам на двойные (например, одна тройная точка эквивалентна трем двойным).
         Максимальное число двойных точек, которое может иметь алгебраическая кривая n-ого порядка, равно (n – 1)(n – 2)/2 = δ. Если кривая n-ого порядка имеет r двойных точек, то разность δ - r, т. е. число двойных точек, недостающее до максимального числа, называется дефектом, или родом, этой кривой. У. к. может быть также поэтому определена как алгебраическая кривая, род которой равен нулю. Очевидно, что прямая линия и кривая 2-го порядка не могут иметь двойных точек, следовательно, они всегда уникурсальны. Кривая 3-го порядка уникурсальна, если она имеет одну двойную точку, кривая 4-го порядка уникурсальна, если она имеет три двойные точки, и т. д.
         На рис. изображена кривая 3-го порядка, называемая декартовым листом; она имеет одну двойную точку и, следовательно, уникурсальна. В самом деле, она может быть задана параметрическими уравнениями:
        
        где параметр t равен тангенсу угла наклона радиус-вектора точки (x, y) к оси Ox.
         При подсчете двойных точек нельзя основываться на внешнем виде кривой, т. к. двойные точки могут быть бесконечно удаленными или мнимыми. Например, кривая 4-го порядка — лемниската Бернулли, имеет одну лишь действительную двойную точку, но она имеет еще две двойные точки в мнимых круговых точках и, следовательно, уникурсальна.
         У. к. играют важную роль в теории интегралов алгебраических функций. Всякий интеграл вида
        
        где R(x, y) есть рациональная функция двух переменных, а y есть функция от x, определяемая уравнением F(x, y) = 0, задающим У. к., приводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.
        К ст. Уникурсальная кривая
        К ст. Уникурсальная кривая

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Уникурсальная кривая" в других словарях:

  • Уникурсальная кривая — Декартов лист …   Википедия

  • УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ — плоская кривая Г, к рую можно обойти, побывав дважды только в точках самопересечения. Для того чтобы кривая была уникурсальной, необходимо и достаточно, чтобы у нее было не более двух точек, через к рые проходит нечетное число путей. Если Г… …   Математическая энциклопедия

  • Линия — I Линия (от лат. linea)         геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.          1) В элементарной… …   Большая советская энциклопедия

  • Бирациональное преобразование —         точечное преобразование плоскости, при котором любая точка Р преобразуется в точку Р так, что координаты точки P рационально выражаются через координаты точки Р и, наоборот, координаты точки Р рационально выражаются через координаты точки …   Большая советская энциклопедия

  • Параметрическое представление —         функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных Параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х, у) = 0 может быть геометрически истолкована как… …   Большая советская энциклопедия

  • Род кривой —         численная характеристика алгебраической кривой. Р. к. f (x, y) = 0 порядка n равен                  где r число двойных точек (при наличии более сложных особых точек они засчитываются за соответствующее число двойных точек; точка возврата …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»