Трансфинитные числа это:

Трансфинитные числа
(от Транс… и лат. finitus — ограниченный)
        обобщённые порядковые числа. Определение Т. ч. опирается на понятие вполне упорядоченного множества (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). Каждое конечное множество можно сделать вполне упорядоченным, выписав все его элементы в определённом порядке. Простейшим примером бесконечного вполне упорядоченного множества является множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания; то же множество, расположенное в порядке убывания (так что большее считается предшествующим меньшему), уже не будет вполне упорядоченным, так как ни одно его бесконечное подмножество не имеет первого элемента. Два упорядоченных множества Х и Y называются подобными или имеющими один и тот же порядковый тип, если между их элементами можно установить Взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов (то есть такое, что для любых двух элементов x', х» множества Х и соответствующих им элементов y', у» множества Y из x'< следует у'<у» и обратно). Все конечные вполне упорядоченные множества, содержащие одинаковое число элементов, подобны между собой. Поэтому порядковые типы конечных вполне упорядоченных множеств можно отождествить с натуральными числами, которые появляются, таким образом, как порядковые числа (тогда как, характеризуя количество элементов множества, те же натуральные числа выступают в другом своём аспекте — количественных чисел).
         Трансфинитными числами называются порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств. Тем самым понятие Т. ч. представляет собой распространение понятия порядкового числа на бесконечные множества. Аналогичное обобщение понятия количественного числа приводит к понятию мощности множества (См. Мощность множества). Так как неравномощные множества нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие, то вполне упорядоченным множествам различной мощности соответствуют различные Т. ч. Однако обратное (в отличие от случая конечных множеств) неверно: бесконечные вполне упорядоченные множества могут быть равномощными, не будучи подобными и тем самым определяя различные Т. ч.
         Для Т. ч. можно ввести понятия «больше» и «меньше». Именно, Т. ч. α, по определению, меньше Т. ч. β (α < β), если какое-либо (а значит, и любое) вполне упорядоченное множество типа α подобно некоторому отрезку какого-нибудь (а следовательно, и любого) множества типа β (отрезком вполне упорядоченного множества, отсеченным элементом х, называется подмножество его элементов, предшествующих х). При этом доказывается, что для любых двух Т. ч. α и β всегда осуществляется один и только один из трёх случаев: либо α < β, либо α = β, либо α > β.
         В применении Т. ч. к различным вопросам математики важную роль играет принцип трансфинитной индукции, обобщающий обычный принцип математической индукции (См. Математическая индукция) на произвольные вполне упорядоченные множества: если некоторое предложение верно для первого элемента вполне упорядоченного множества Х и если из того, что оно верно для всех элементов множества X, предшествующих данному элементу x из множества X, следует его справедливость и для элемента х, то это предложение верно для каждого элемента множества X.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Трансфинитные числа" в других словарях:

  • Трансфинитные числа — …   Википедия

  • Порядковые числа —         ординальные числа, понятие множеств теории (См. Множеств теория); см. Трансфинитные числа, Число …   Большая советская энциклопедия

  • Конструктивные способы определения вещественного числа — При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты,… …   Википедия

  • Двойные числа — О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа  гиперкомплексные числа вида « », где и   вещественные… …   Википедия

  • Дуальные числа — или (гипер)комплексные числа параболического типа гиперкомплексные числа вида , где и   вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную …   Википедия

  • Супернатуральные числа — (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число является формальным произведением: где может быть любым простым числом, а каждое является или натуральным числом …   Википедия

  • Кубические простые числа — Кубические простые числа  это простые числа, которые являются решением одного из двух кубических уравнений третей степени от переменных x и y. Первое из них: [1] и первые несколько таких кубических простых чисел: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331 …   Википедия

  • Жегалкин, Иван Иванович — [22 июля (3 авг.) 1869 1947] сов. математик. Засл. деят. науки РСФСР (1945). Учился в Моск. ун те, где с 1902 приват доцент, а затем проф. Проф. ряда др. учебных заведений Москвы. В 1911 покинул ун т. Вернувшись в ун т в 1917, Ж. работал в нем до …   Большая биографическая энциклопедия

  • Бесконечность — I Бесконечность         в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность… …   Большая советская энциклопедия

  • ЖЕГАЛКИН — Иван Иванович (род. 1869 – ум. 1947) – рус. логик и математик, один из создателей школы математической логики. Построил логику высказываний в виде арифметики двух чисел – нуля («четное») и единицы («нечетное»), в которой в отличие от обычного… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»