Типов теория (в логике)

Типов теория в логике, система расширенного исчисления предикатов или аксиоматической теории множеств, включающая переменные различных «типов» (сортов, ступеней, порядков). Формальные объекты этой теории, согласно системе Рассела — Уайтхеда, разделяются на типы: предметы (индивиды), предикаты, предикаты от предикатов и т. д. [объекты n-го типа — это предикаты от объектов (n√1)-го и, быть может, меньших типов]. При «двойственной» формулировке Т. т. как аксиоматической теории множеств объекты n-го типа суть множества объектов (n—1)-го (и, быть может, меньших) типа. Соответственно, принцип свёртывания (абстракции принцип), неограниченное пользование которым в расширенном исчислении предикатов и в теории множеств приводит к парадоксам, звучит теперь несколько по-другому: «для всякой предикатной формулы со свободной переменной х, не содержащей объектов выше (n—1)-го типа, существует предикат n-го типа, истинный для тех и только тех значений х, для которых истинна данная формула», или «для любого свойства, в формулировке которого используются множества не выше (n—1)-го типа, существует множество n-го типа, состоящее из тех и только тех предметов, которые обладают этим свойством». В обеих формулировках выделены слова, добавление которых отличает теоретико-типовую форму аксиомы свёртывания от обычной и которые препятствуют возникновению в Т. т. парадоксов, возникающих в «наивной» теории множеств, в том числе парадокса Рассела о «множестве всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента».

Однако математика, построенная на базе Т. т., оказывается, как показывает внимательный анализ, существенно более бедной, чем обычная классическая математика. Поэтому Рассел ввёл в свою систему так называемую аксиому сводимости, постулирующую, грубо говоря, для каждого множества (предиката) n-го типа существование эквивалентного ему множества 1-го типа. Но уже для этой аксиомы ни на какое «чисто логическое» обоснование математики, как показал сам Рассел, рассчитывать не приходилось (в силу чего программа логицизма выведения всей математики из «чистой» логики оказывалась невыполнимой).

Лит.: Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947, гл. 4 и прилож. 1; Ван Хао, Мак -Нотон P., Аксиоматические системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963, гл. 1—2, 5—6; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 1, 3 (лит.); Andrews Р. В., A transfinite type theory with type variables, Amst., 1965.