Сжатых отображений принцип это:

Сжатых отображений принцип
        одно из основных положений теории метрических пространств (См. Метрическое пространство) о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. С. о. п. применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
         Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение
         Ax = х. (*)
         Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.
         Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число α < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство
         d (Ax, Ау) ≤ αd (х, у),
         где символ d (u, υ) означает расстояние между точками u и υ метрического пространства М.
         С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями
         xn = Axn-1, n = 1,2,...,
         имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:
        .
        .
         С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом (См. Последовательных приближении метод).
         С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.
         Ш. А. Алимов.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Сжатых отображений принцип" в других словарях:

  • СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП — одно из основных положений теории метрич. пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при нек ром специальном ( сжимающем ) отображении его в себя. См. Сжимающих отображений принцип …   Математическая энциклопедия

  • Преобразование —         одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… …   Большая советская энциклопедия

  • ИТЕРАЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ — рекурсивный алгоритм, реализующий в нек ром топологич. пространстве Vпоследовательность точечно множественных отображений Ak: V > V, при помощи к рых по начальной точке вычисляют последовательность точек согласно формулам Операцию (1) наз.… …   Математическая энциклопедия

  • Последовательных приближении метод —         метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в… …   Большая советская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИИ — топологическое множество Fотображений множества Xвтопологич. пространство Yс какой нибудь естественной топологией Тна F. При фиксированных множестве Xи пространстве Y получаются различные П. о. в зависимости от того, какие отображения включаются… …   Математическая энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»