Приближённое решение это:

Приближённое решение
        дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.
         П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом (См. Последовательных приближении метод), Ритца и Галёркина методами (См. Ритца и Галёркина методы), Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.
         Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
         y (x) - y (x0) =
         Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:
         A1 = y’0 = f (x0, y0);
        
        
        либо с помощью неопределенных коэффициентов метода (См. Неопределённых коэффициентов метод). Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0.
         Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
         К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
         Поясним эти методы на примере уравнения
         y’ = f (x, у)
        с начальным условием у (х0) = y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h = х х0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.
         Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0, b] Так, для того чтобы вычислить у (х1), где х1 = х0 + h, h = (b — x0)/n, представляют у (х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х1 х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:
        
        Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.
         В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
        
        где
        
        
        
        
        дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.
         В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), ηi и разностей Δiηj, где
         ηj = hf (xj, yj); Δηj = ηj+1 - ηj;
         Δiηj = Δi-1ηj+1 - Δi-1ηj.
         Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:
        
        даёт решение у (х) в точке xk с точностью до величин порядка h4.
         Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения
        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
        | Формула                                  | = 2                   | = 3                   | = 4                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | (1 + x)3 ≈ 1 + 3x                        | 0,04                     | 0,012                   | 0,004                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,06                     | 0,022                   | 0,007                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,19                     | 0,062                   | 0,020                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,20                     | 0,065                   | 0,021                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,31 (17°48')         | 0,144 (8°15')         | 0,067 (3°50')       |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,10 (5°43')           | 0,031 (l'48')           | 0,010 (0°34')       |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,25 (14°8')           | 0,112 (6°25')         | 0,053 (3°2')         |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,14                     | 0,47                     | 0,015                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,04                     | 0,014                   | 0,004                 |
        |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
        | | 0,25                     | 0,119                   | 0,055                 |
        ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
        
        формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:
        
        особенно удобную для решения уравнений вида у " = f (x, у). По этой формуле находят Δ2yn-1, а затем yn+1 = ynyn+1 + Δ2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y’’n+1 = f (xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.
         Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
         Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.
         Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).
         Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Приближённое решение" в других словарях:

  • приближённое решение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN approximate solution …   Справочник технического переводчика

  • приближённое решение — artutinis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. approximate solution vok. angenäherte Lösung, f; approximative Lösung, f rus. приближённое решение, n pranc. solution approchée, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Численное решение уравнений —         нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с… …   Большая советская энциклопедия

  • КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — квантовой механики (Венцеля Крамерса Бриллюэна метод), приближённый метод решения задач квант. механики, применимый, когда и квант. и классич. описание движения ч цы дают близкие результаты; впервые использован нем. физиком Г. Венцелем, англ.… …   Физическая энциклопедия

  • Корректные и некорректные задачи —         классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью… …   Большая советская энциклопедия

  • Ритца и Галёркина методы —         широко распространённые Прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).          Метод Ритца применяется большей частью для приближённого… …   Большая советская энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ — раздел квант. теории, посвящённый изучению систем, состоящих из трёх и большего числа ч ц. В квант. механике система из N ч ц описывается при помощи волн. ф ции, зависящей как от координат всех ч ц, так и от всех др. величин, необходимых для… …   Физическая энциклопедия

  • Квадратура круга — Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга  задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно …   Википедия

  • Графические вычисления —         методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих… …   Большая советская энциклопедия

  • Сеток метод —         собирательное название группы приближённых методов решения дифференциальных, интегральных и интегро дифференциальных уравнений. Применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными термин «С. м.» используется в качестве… …   Большая советская энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»