Приближённое интегрирование это:

Приближённое интегрирование
        определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых Интегралов.
         Пусть y = f (x) непрерывная функция на отрезке [a, b] и интеграл
        
         Если для функции f (x) известны значения первообразной F (x) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница
         I (f) = F (b) - F (a)
         В противном случае приходится искать др. пути вычисления l (f). Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I (f) в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x), называют выражение вида
         Sn(f) = kf (xk),
        в котором точки xk, k = 1, 2,..., n, xk ∈ [a, b], называют узлами, а коэффициенты Akвесами.
         Для каждой непрерывной функции f (x) значение I (f) может быть вычислено с помощью сумм Sn(f) с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом Ω, к которому относят конкретную функцию f (x), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность
         Rn(f) = I (f) - Sn(f).
         Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x) параметров: n, xk, Ak (k = 1, 2,..., n), которые выбирают так, чтобы при f ∈ Ω погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ∈ Ω характеризует величина rn (Ω) — точная верхняя грань ∣Rn(f)∣ на множестве Ω:
        
         Пусть
        
         Квадратурная формула, для которой Wn (Ω) = rn (Ω), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.
         Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть ωq (x), q = 0, 1,..., — Полная система функций в классе Ω, и любая f (x) ∈ Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций ωq (x). Пусть l q), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы
         I q) = Sn q), q = 0, 1,..., m,
        для возможно большего значения m. В методе Ньютона — Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы xk, а определению подлежат веса Ak. В методе Чебышева на веса Ak заранее накладываются некоторые связи [например, Ak = (b - а)/n], а определению подлежат узлы xk. В методе Гаусса определяются и веса Ak и узлы xk. В методе Маркова j узлов (j < n) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций ωq (x).
         Формулы Ньютона — Котеса строятся на основе системы функций ωq = xq, q = 0, 1,...; узлы xk разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются Прямоугольников формула, Трапеций формула и Симпсона формула.
         Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:
        
        и для вычисления интегралов по отрезкам [ai, ai+1] применяются элементарные квадратурные формулы.
         В формулах Гаусса m = 2n — 1, а при а =1, b = 1 узлы xk являются корнями Лежандра многочлена (См. Лежандра многочлены) Pn (x) степени n, а
         Ak = 2(1 - x2k)-1(P’n (xk))-2
         Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, l = b - а и xk [a, b] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.
         При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:
        
         Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида
        
        где р (х) фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f ∈ Ω функции f (x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций ωq (x).
         Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.
         Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в специальных справочниках.
         Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда называются кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд специальных формул.
         Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматическим выбором шага.
         Лит.: Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теоретикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963.
         В. И. Лебедев.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Приближённое интегрирование" в других словарях:

  • приближённое интегрирование — (численное интегрирование), раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определенных интегралов, то есть построением квадратурных формул. Термин «приближённое интегрирование»… …   Энциклопедический словарь

  • приближённое интегрирование — artutinis integravimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. approximative integration vok. Annäherungsintegration, f; approximative Integration, f rus. приближённое интегрирование, n pranc. intégration approximative, f …   Fizikos terminų žodynas

  • численное интегрирование — см. Приближённое интегрирование. * * * ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ, см. Приближенное интегрирование (см. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ) …   Энциклопедический словарь

  • ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ — см. Приближённое интегрирование …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Численное интегрирование — (историческое название: (численная) квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла. Численное… …   Википедия

  • Метод Гаусса (численное интегрирование) — Метод Гаусса метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной …   Википедия

  • Симпсона формула —         формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид:                  ,          где h = (b а)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на… …   Большая советская энциклопедия

  • Трапеций формула —         формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид                   где fm=f (a+mh), m = 0, 1,..., n. Геометрически применение Т. ф. означает замену площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, графиком… …   Большая советская энциклопедия

  • Список научных публикаций Альберта Эйнштейна — Альберт Эйнштейн (1879 1955) был известным специалистом по теоретической физике, который наиболее известен как разработчик общей и специальной теорий относительности. Он также внёс большой вклад в развитие статистической механики, особенно… …   Википедия

  • Чебышев Пафнутий Львович — Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович [14(26).5.1821, с. Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области, ‒ 26.11(8.12).1894, Петербург], русский математик и механик; адъюнкт (1853), с 1856 экстраординарный, с 1859 ‒ ординарный… …   Большая советская энциклопедия

Книги

  • Численное интегрирование, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Численное интегрирование (историческое название:… Подробнее  Купить за 1125 руб
  • 64 лекции по математике, Важдаев В. П., Коган А. М., Лиогонький М. И., Протасова Л. А.. Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных… Подробнее  Купить за 50 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»