Полнота это:

Полнота
        свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.
         Один из аспектов понятия П. — т. н. функциональная П. (ф. п.) — применительно к естественному языку представляет собой то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду У. Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на который «Гамлет» переведён, полон в том же смысле: перевод как раз и служит свидетельством этой ф. п.
         Аналогично (в математике), семейство функций, принадлежащих некоторому классу функций, является полным относительно этого класса (и относительно некоторого фиксированного запаса «допустимых» операций над функциями), если любую функцию этого класса можно выразить через функции данного семейства (с помощью допустимых операций). Так, любая из функций sinx или cosx составляет одноэлементный класс, полный для всех тригонометрических функций (относительно четырёх арифметических действий, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня); три единичных вектора по осям координат образуют полный класс (относительно сложения, вычитания и умножения на действительное число) для множества всех векторов трёхмерного евклидова пространства.
         Понятие ф. п. играет важную роль в математической логике: все двуместные Логические операции исчисления высказываний (см. Логика высказываний) могут быть выражены через конъюнкцию и отрицание, или через дизъюнкцию и отрицание, или через импликацию и отрицание, или даже через единственную операцию антиконъюнкцию («штрих Шеффера»), т. е. все эти семейства логических связок представляют собой функционально полные классы операций алгебры логики (См. Алгебра логики).
         Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная П. (д. п.) аксиоматических теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет «дедуктивная» обычно опускают). В зависимости от выбора критерия «достаточности» дедуктивных средств теории (или формального исчисления (См. Исчисление)) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации (См. Интерпретация)), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. («в широком смысле»), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. («в узком смысле») определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта («абсолютная») П., вообще говоря, сильнее семантической П.: например, Исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.
         Неполные (или, как часто говорят, некатегоричные) системы аксиом, допускающие существенно различные и притом неизоморфные интерпретации (например, теория групп (См. Группа) в абстрактной алгебре или теория топологических пространств (См. Топологическое пространство)), представляют особый интерес именно богатством и разнообразием своих приложений (это обусловливается различными путями «пополнения» теории за счёт присоединения различных аксиом). Но ещё более важно то, что (как установил в 1931 К. Гёдель) для достаточно богатых аксиоматических теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств (См. Аксиоматическая теория множеств)) требования д. п. и непротиворечивости (См. Непротиворечивость) оказываются несовместимыми. Это поразительное открытие составило целую эпоху в развитии математической логики, привело к осознанию принципиальной ограниченности играющего в ней большую роль аксиоматического метода (См. Аксиоматический метод) и стимулировало поиски новых, более гибких в известном смысле, логических и логико-математических теорий и новых дедуктивных средств.
         См. также ст. Доказательство и лит. при ней.
         Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 29 32, 42, 72 (лит.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М. 1959 гл. 2, § 10, гл. 3, § 7, гл. 4, §§ 17, 19.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Синонимы:

Антонимы:

Смотреть что такое "Полнота" в других словарях:

  • ПОЛНОТА — ПОЛНОТА, полноты, мн. нет, жен. 1. Состояние чего нибудь наполненного совершенно, до краев (редк.). «До полноты не доливай.» Даль. 2. Полная мера, полный состав, предельное потребное количество, исчерпывающая достаточность. Доклад замечателен… …   Толковый словарь Ушакова

  • ПОЛНОТА —         в логике и дедуктивных науках, свойство аксиоматич. теории, характеризующее достаточность для к. л. определ. целей её выразит. и дедуктивных средств. Аксиоматич. система наз. дедуктивно полной по отношению к данной интерпретации, если все …   Философская энциклопедия

  • полнота — См. обилие... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. полнота избыток, обилие; неограниченность, безраздельность, завершенность, всесторонность; толщина, корпуленция, сдобность,… …   Словарь синонимов

  • полнота — ы; ж. 1. Наличие чего л. в достаточной степени, высшая степень проявления чего л., насыщенности чем л. П. власти, ответственности, прав. П. жизни, счастья, чувств, сил. П. ответа, текста, коллекции, исследования. Обнаружить исчерпывающую полноту… …   Энциклопедический словарь

  • ПОЛНОТА — ПОЛНОТА, ы, жен. 1. Наличие чего н. в достаточной степени, высшая степень насыщенности чем н. П. власти. Исчерпывающая п. в подборе фактов. От полноты чувств или от полноты души (от избытка чувств, как бы наполняющих всего человека). 2. О… …   Толковый словарь Ожегова

  • полнота — ПОЛНОТА, ы, ж Физиологическое состояние, проявляющееся в наличии избыточного веса; Син.: упитанность, тучность; Ант.: худоба. Малоподвижным людям свойственна полнота …   Толковый словарь русских существительных

  • ПОЛНОТА — в логике и математике достаточность выразительных или дедуктивных средств какой либо научной теории или исчисления для описания (характеристики, предсказания, вывода) всех реальных свойств и отношений предполагаемой модели этой теории или… …   Большой Энциклопедический словарь

  • полнота́ — полнота, ы …   Русское словесное ударение

  • Полнота — ж. 1. Наполненность, достаточное наличие чего либо. 2. Полная мера, полный состав, предельное количество. отт. Исчерпанность, обстоятельность. отт. Насыщенность, содержательность. 3. перен. Высшая степень чего либо. 4. Тучность, толщина тела.… …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • полнота — полнота, полноты, полноты, полнот, полноте, полнотам, полноту, полноты, полнотой, полнотою, полнотами, полноте, полнотах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • ПОЛНОТА — англ. plenitude/completeness; нем. Fulle/Vollstandigkeit. Свойство формальных систем, характеризующее достаточность для к. л. определенных целей. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии

Книги

Другие книги по запросу «Полнота» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»