Подстановка

        элементов данного множества (математическая), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом φ(а) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П. по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя (см. Взаимно однозначное соответствие), однако оно применяется большей частью к конечным множествам. Только этот случай и рассматривается ниже. Для П. принята запись

        

        здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П. не зависят от природы элементов а, b,..., с, то большей частью (во всяком случае — в учебных целях) используют целые числа 1, 2,..., n, при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своём естественном порядке; П. принимает вид

        

        или проще

        

        где φ₁, φ₂,..., φ_n — те же числа 1, 2,..., n, но записанные, возможно, в каком-либо ином порядке. Т. о., вторая строка П. образует перестановку (См. Перестановка) φ₁, φ₂,..., φ_n из чисел 1, 2,..., n. Различных П. из n элементов существует столько же, сколько и перестановок, т.е. n! = 1․2․3․...․n. Подстановка

        

        оставляющая на месте все элементы, называется единичной, или тождественной. Для каждой подстановки А существует обратная, т. е. такая, которая переводит φ_i в i; она обозначается через А^-1. Например,

        

        

         Результат последовательного применения двух подстановок А и В снова будет некоторой подстановкой С: если А переводит i в φ_i, а В переводит φ_i в ψ_i, то С переводит i в ψ_i. Подстановка С называется произведением подстановок А и В, что записывается так: С = АВ. Например, если

        

        

         При умножении П. не выполняется закон коммутативности, т. е., вообще говоря, АВ ≠ ВА; так, в том же примере

        

         Легко видеть, что IA = AI = А, АА^-1= А^-1А = I, А (ВС) = (АВ) С (ассоциативный закон). Т. о., все П. из n элементов образуют группу (См. Группа), называемую симметрической группой (См. Симметрическая группа) степени n.

         П., переставляющая местами только 2 элемента i и j, называют транспозицией и обозначается так: (i, j), например

        

         Любую П. можно разложить в произведение транспозиций. Число множителей при разложении разными способами данной П. в произведение транспозиций всегда будет либо чётным, либо нечётным. В соответствии с этим и П. называют либо чётной, либо нечётной; например, А = (1, 3)(5, 4)(5, 1) — нечётная П. Чётность П. можно определить также по числу инверсий, т. е. по числу нарушений порядка в нижней строке П., если числа верхней строки расположены в их естественном порядке: чётность П. совпадает с чётностью числа инверсий; например, в нижней строке подстановки А имеется 5 инверсий, т. е. случаев, когда большее число стоит раньше меньшего: (3, 2), (3, 1),(2, 1), (5, 1) и (5, 4). Существует n!/2 чётных и n!/2 нечётных П. из n элементов.

         П., циклически переставляющая данную группу элементов, а остальные элементы оставляющая на месте, называется циклом. Число переставляемых элементов называют длиной цикла. Например, подстановка А есть цикл длины 4: она переводит 1 в 3, 3 в 5, 5 в 4, 4 в1; коротко это записывается так: А = (1, 3, 5, 4). Транспозиция есть цикл длины 2. Любую П. можно разложить в произведение независимых (т. е. не имеющих общих элементов) циклов. Например,

        

         Термин «П.» в интегральном исчислении (См. Интегральное исчисление) означает замену переменной в подынтегральной функции.

         Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М. — Л., 1971.