Ортогональные многочлены это:

Ортогональные многочлены
        специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
        
        Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
        
        где γn =n [(α1 + (n + 1)β2].
         Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и ρ(х).
         1) Якоби многочлены {Рп (λ,μ)(х)} — при а = —1, b = 1 ρ(х) = (1—х)λ (1 + x)μ, λ > —1, μ > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям λ и μ: λ = μ— Ультрасферические многочлены 1/2, т. е. Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); λ = μ = 1/2, т. е. Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х)1 — Лежандра многочлены Рп (х).
         2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра
         3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —∞, b = + ∞ и
         О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
        
        где An — постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м.
        
        где ап+2 и λn+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
        
        то
        
        
         Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла х — an и числителями λn—1. Знаменатели φn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х).
         Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).
         Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
         В. И. Битюцков.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Ортогональные многочлены" в других словарях:

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — система многочленов {Р n (х)}, удовлетворяющих условию ортогональности причем степень каждого многочлена Р n (х). равна его индексу п, а весовая функция (вес) на интервале ( а, b).или (в случае конечности a и b) на отрезке [a, b]. О. м. наз. о р… …   Математическая энциклопедия

  • Ортогональные многочлены — Пафнутий Львович Чебышёв В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — в комплексной области общее название многочленов, ортогональных на окружности, по контуру или по площади. В отличие от случая ортогональности в действительной области, многочлены указанных трех систем могут иметь мнимые коэффициенты и… …   Математическая энциклопедия

  • КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — общее название Якоби многочленов, Эрмита многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами: 1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет… …   Математическая энциклопедия

  • Многочлены Эрмита — Многочлены Эрмита  определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике. Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита. Содержание 1… …   Википедия

  • Многочлены Полачека — Многочлены Полачека  последовательность многочленов , которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году. Рекурсивное определение …   Википедия

  • Многочлены Кравчука — ( М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: . Здесь   весовая …   Википедия

  • Многочлены Чебышёва — две последовательности многочленов Tn(x) и Un(x), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва. Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в… …   Википедия

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ — системыполиномов , п =0, 1, ..., ортогональных с весом на интервале ( а, b): где квадрат нормы. Подобные системы возникают в разл. задачах матем. физики:в теории представлений групп, в вычислит. математике, при решении задачна собственные… …   Физическая энциклопедия

  • Многочлены Якоби — Полиномы Якоби класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби. Ортогональные полиномы Якоби Открыты Якоби, Карл Густав Якоб Формула …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Ортогональные многочлены» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»