Объём это:

Объём
        одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.
         Задача вычисления О. простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О. тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О. многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве Исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {Vi} — числовое множество объёмов, вписанных в тело многогранников, a {Vd} — числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {Vi} ограничено сверху (объёмом любого описанного многогранника), а множество {Vd} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {Vi}, называется нижним объёмом V тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {Vd}, называется верхним объёмом тела К. Если верхний объём тела К совпадает с его нижним объёмом V, то число V = V̅ = V называется объёмом тела К, а само тело — кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность Vd — Vi объёмов которых была бы меньше ε.
         Аналитически О. может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью (См. Квадрируемая область) М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла
        
         О. тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которая встречается с параллелью к оси Oz не более чем в двух точках, может быть вычислен как разность О. двух тел, подобных предшествующему. О. тела может быть выражен в виде тройного интеграла
        
         где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О. тел через его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями z = а и z = b (b > а), рассекается плоскостями, перпендикулярными оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения S — непрерывная функция от z, то О. тела может быть выражен простым интегралом
        
         Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась (в различных геометрических формах) к вычислению О. простейших тел (пирамиды, шара, некоторых тел вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17—18 вв. В частности, формулу (1) содержал в зародыше т. н. Кавальери принцип, сохраняющий своё значение для школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается также Симпсона формула, соответствующая тому случаю, когда в (1) функция S (z) является многочленом не выше 3-й степени.
         Об обобщениях понятия «О.» см. в ст. Мера множества.
         Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.
        Рис. 1 к ст. Объём.
        Рис. 1 к ст. Объём.
        Рис. 2 к ст. Объём.
        Рис. 2 к ст. Объём.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Синонимы:

Смотреть что такое "Объём" в других словарях:

  • объём — объём …   Словарь употребления буквы Ё

  • объём — объём/ …   Морфемно-орфографический словарь

  • объём — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? объёма, чему? объёму, (вижу) что? объём, чем? объёмом, о чём? об объёме; мн. что? объёмы, (нет) чего? объёмов, чему? объёмам, (вижу) что? объёмы, чем? объёмами, о чём? об объёмах 1. В… …   Толковый словарь Дмитриева

  • объём — а; м. 1. Величина чего л. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. геометрического тела. О. куба, цилиндра. О. здания. О. полтора кубометра. В объёме (в трёх измерениях; объёмно). 2. Содержание чего л. с точки зрения… …   Энциклопедический словарь

  • объём — объём, объёмы, объёма, объёмов, объёму, объёмам, объём, объёмы, объёмом, объёмами, объёме, объёмах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, а, муж. 1. Величина чего н. в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах. О. пирамиды. О. здания. 2. Вообще величина, количество. Большой о. работ. О. информации. О. знаний. | прил. объёмный, ая, ое (к 1 знач.). Объёмное… …   Толковый словарь Ожегова

  • ОБЪЁМ — ОБЪЁМ, мера части пространства, занимаемого телом. Единицей измерения служит объём единичного куба …   Современная энциклопедия

  • Объём — ОБЪЁМ, мера части пространства, занимаемого телом. Единицей измерения служит объём единичного куба.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • ОБЪЁМ — мера количества трёхмерного пространства, занимаемого телом (объектом). О. куба, ребро которого равно единице (см.), равен единице. Единицы объёма в СИ кубический метр (м3) …   Большая политехническая энциклопедия

  • ОБЪЁМ — ОБЪЕМ, объемся, объешь, объешься. буд. вр. от объесть, объесться. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • ОБЪЁМ — ОБЪЕМ, объемся, объешь, объешься. буд. вр. от объесть, объесться. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

Книги

Другие книги по запросу «Объём» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»