Обобщённые функции это:

Обобщённые функции
        математическое понятие, обобщающее классическое понятие Функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.
         О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции (См. Дельта-функция) и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи (См. Коши задача) для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.
         Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные Функционалы над тем или иным линейным пространством (См. Линейное пространство) основных функций φ(x). Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей Сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида
         (f, φ) = ∫f (x)φ(x) dx. (1)
         Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’, задаваемый равенством
         (f', φ) = ‑ (f, φ'). (2)
         При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.
         Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.
         Вводятся и другие операции над О. ф., например Свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
        Примеры. 1) δ-функция Дирака:
         (δ, φ) = φ(0),
         описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.
        2) θ (x) — функция Хевисайда: θ(x) = 0, х ≤ 0, θ(x) = 1, x > 0, θ' = δ;
         производная от неё равна единичному импульсу.
         3) —δ' — плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х.
         4) μδs — плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью μ:
        
        5) n:
        
         6) Свёртка
        
         ньютонов потенциал с плотностью f, где f — любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].
         7) Общее решение уравнения колебаний струны
         задаётся формулой
         задаётся формулой
         u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),
         где f и g — любые О. ф.
         Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.—Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1—2, P., 1950—51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.
         В. С. Владимиров.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Обобщённые функции" в других словарях:

  • Обобщённые интегралы Френеля — (интегралы Бёмера) специальные функции, обобщающие интегралы Френеля. Введены Петером Бёмером в 1939 году.[1] Обобщённый косинус Френеля: Обобщённый синус Френеля: Соответственно, обычные интегралы Френеля выражаются через интегралы Бёмера… …   Википедия

  • ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ — независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число к рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к рые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s ур ниями вида qi=qi(t), где t время …   Физическая энциклопедия

  • Обобщённые координаты —         независимые между собой параметры qi (r = 1, 2,..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s уравнениями …   Большая советская энциклопедия

  • Обобщённая функция — или распределение математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически… …   Википедия

  • Обобщённое программирование — (англ. generic programming)  парадигма программирования, заключающаяся в таком описании данных и алгоритмов, которое можно применять к различным типам данных, не меняя само это описание. В том или ином виде поддерживается разными… …   Википедия

  • Пространство обобщённых функций — Обобщённая функция или распределение  математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в… …   Википедия

  • Носитель функции — Носитель функции  замыкание множества, на котором функция отлична от нуля. Содержание 1 Носитель классической функции 1.1 Компактный носитель …   Википедия

  • СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ — вквантовой теории поля релятивистски инвариантныеф ции, тесно связанные с квантованием волновых полей, имеющие сингулярноеповедение в окрестности светового конуса и начала координат. В первуюочередь к С. ф. относятся перестановочные функции,… …   Физическая энциклопедия

  • Сферические функции —         специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями… …   Большая советская энциклопедия

  • Соединённые Штаты Америки — (США)         (United States of America, USA).          I. Общие сведения          США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»