Непрерывная функция это:

Непрерывная функция
        Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0, значения функции f (x) отличаются сколь угодно мало от её значения f (x0). Точнее, функция f (х) называется непрерывной при значении аргумента x0 (или, как говорят, в точке x0), если каково бы ни было ε > 0, можно указать такое δ > 0, что при |х — х0| < δ будет выполняться неравенство |f (x) — f (x0)| < ε. Это определение равносильно следующему: функция f (x) непрерывна в точке x0, если при х, стремящемся к x0, значение функции f (x) стремится к пределу f (x0). Если все условия, указанные в определении Н. ф., выполняются только при хх0 или только при х х0, то функция называется, соответственно, непрерывной справа или слева в точке x0. Функция f (x) называется непрерывной н а отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке х при а < х < b и, кроме того, в точке а непрерывна справа, а в точке b — слева.
         Понятию Н. ф. противопоставляется понятие разрывной функции (См. Разрывные функции). Одна и та же функция может быть непрерывной для одних и разрывной для других значений аргумента. Так, дробная часть числа х [её принято обозначать через (х)], например
        
        является функцией разрывной при любом целом значении и непрерывной при всех других значениях (рис. 1), причём в целочисленных точках она непрерывна справа.
         Простейшими функциями переменного х, непрерывными при всяком значении x, являются многочлены, синус (у = sin x), косинус (у = cos x), показательная функция (у = ax, где а — положительное число). Сумма, разность и произведение Н. ф. снова дают Н. ф. Частное двух Н. ф. также есть Н. ф., за исключением тех значений х, для которых знаменатель обращается в нуль (так как в таких точках рассматриваемое частное не определено). Например,
        
        есть Н. ф. для всех значений х, кроме нечётных кратных π/2, при которых cosх обращается в нуль.
         Н. ф. обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и её приложениях. Одно из важнейших свойств выражается следующей теоремой: для всякой функции, непрерывной на отрезке [а, b] можно найти многочлен, значения которого отличаются на этом отрезке от значений функции менее чем на произвольно малое, наперёд заданное число (теорема о приближении Н. ф. многочленами). Справедлива также и обратная теорема: всякая функция, которую на некотором отрезке можно с произвольной степенью точности заменить многочленом, непрерывна на этом отрезке.
         Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (см. Наибольшее и наименьшее значения функций (См. Наибольшее и наименьшее значения функции)). Кроме того, она принимает на этом отрезке все значения, лежащие между её наименьшим и наибольшим значениями. Функции, непрерывные на отрезке, обладают свойством равномерной непрерывности (См. Равномерная непрерывность). Всякая функция, непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нём, т. е. является производной другой Н. ф. Однако не всякая Н. ф. сама имеет производную. Геометрически это означает, что график Н. ф. не обязательно обладает в каждой точке определённым направлением (касательной); это может произойти, например, потому, что график имеет угловую точку (рис.2, функция у = |x|), или потому, что он совершает в любой близости точки О бесконечно много колебаний между двумя пересекающимися прямыми (рис. 3, функция
        
        при х ≠ 0 и y = 0 при x = 0).
         Существуют Н. ф., не имеющие производной ни в одной точке (первый пример такого рода был найден Б. Больцано). Представление о графике подобной функции даёт рис. 4, где изображены первые этапы построения, состоящего в неограниченно продолжающейся замене средней трети каждого прямолинейного отрезка двузвенными ломаными; соотношения длин подбираются так, чтобы в пределе получить Н. ф.
         Функция F (x, у, z,...) нескольких переменных, определённая в некоторой окрестности точки (x0, y0, z0,...), называется непрерывной в этой точке, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > О, что при одновременном выполнении неравенств: |xx0| < δ, |у — у0| < δ, |z — z0| < δ,... выполняется также и неравенство:
         IF (x, у, z,...) — F (x0, y0, z0,...)| < ε.
         Такая функция будет непрерывной по отношению к каждому аргументу в отдельности (если остальным аргументам приданы определённые числовые значения). Обратное, однако, неверно: функция F (x:, у, z,...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого даёт функция F (x, у), равная xy/(x2 + y2), если x2 + y2 ≠ 0, и равная 0 при x = у = 0. Она непрерывна по x при любом фиксированном значении y по y — при любом фиксированном значении х. В частности, она непрерывна по x при у = 0 и по y при x = 0. Если же положить, например, у = х ≠ 0, то значение функции будет оставаться равным x2/(x2 + y2) = 1/2, т. е. нельзя будет указать такого числа δ > 0, чтобы при одновременном выполнении неравенств |х| < δ, |у| < δ выполнялось неравенство |ху/(х2 + y2)| < ε. На Н. ф. нескольких переменных распространяются все основные теоремы, относящиеся к Н. ф. одного переменного.
         Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.
        Рис. 1 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 1 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 2 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 2 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 3 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 3 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 4 к ст. Непрерывная функция.
        Рис. 4 к ст. Непрерывная функция.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Непрерывная функция" в других словарях:

  • непрерывная функция — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] непрерывная функция «Функция называется непрерывной в точке M0, если для любого числа e > 0 можно указать окрестность Sr(M0) точки M0 так, что для всех точек M ? S… …   Справочник технического переводчика

  • Непрерывная функция — [con­tinuous function]. «Функция называется непрерывной в точке M0, если для любого числа e > 0 можно указать окрестность Sr(M0) точки M0 так, что для всех точек M ∈ S …r выполняется неравенство | f(M) f(M0) |< e» 2. «Функция f(M)… …   Экономико-математический словарь

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обладающая тем свойством, что ее значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. функции, встречающиеся в различных разделах математики и ее приложений к естествознанию… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Непрерывная функция — Эта статья  о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция  функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… …   Википедия

  • непрерывная функция — функция, обладающая тем свойством, что её значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. Функции, встречающиеся в различных разделах математики и её приложений к естествознанию… …   Энциклопедический словарь

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обладающая тем свойством, что её значения сколь угодно мало изменяются с изменением аргумента, если только сами изменения аргумента достаточно малы. Функции, встречающиеся в разл. разделах математики и её приложений к естествознанию и… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий математического анализа. Пусть действительная функция f определена на нек ром подмножестве Едействительных чисел , т. е. . Функция f наз. непрерывной в точке (или, подробнее, непрерывной в точке по множеству Е), если для… …   Математическая энциклопедия

  • непрерывная функция изменения скорости (сейсм.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN continuous velocity function …   Справочник технического переводчика

  • непрерывная функция скорости — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN gradational velocity …   Справочник технического переводчика

  • непрерывная функция, квантованная по времени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN sampled analog data …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «Непрерывная функция» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»