Математическое программирование это:

Математическое программирование
        математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
         М. п. — раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
         Наименование «М. п.» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
         Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию φ(x) векторного аргумента х на множестве
         X = {x: gi(x) ≥ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},
         где gi(x) и hi(x) — также скалярные функции; функцию φ(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).
         В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция φ(x) и ограничения gi(x) и hi (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции
         при линейных ограничениях
        при линейных ограничениях
        
        , i = 1, 2, …, m,
         либо все величины cj, aij, bi, либо часть из них случайны.
         Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
         В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
        
         X = {x: gi(x) ≥ 0, i = 1, 2, ..., k},
        необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*1, у*2, ..., у*k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа
        Последнее означает, что
         Последнее означает, что
         L(x*, y) ≤ L(x*, y*) ≤ L(x, у*)
        для любых х и всех у ≥ 0. Если ограничения gi(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
         Если функции φ(x) и gi(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
         j = 1, 2, …, n;
         i = 1, 2, …, k;
         yi ≥ 0, i = 1, 2, …, k.
         Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.
         На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
         В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xkX выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция φ(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + αksk), где p(xk + αksk) означает проекцию точки xk + αksk на множество X:
        
        число αk > 0 выбирается при этом так, чтобы φ(xk +1) < φ(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = —grad φ(xk). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что
         Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.
         Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.
         М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.
        
         Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.
         В. Г. Карманов.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Математическое программирование" в других словарях:

  • Математическое программирование — Математическое программирование  математическая дисциплина, изучающая теорию и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями… …   Википедия

  • Математическое программирование — [mathematical prog­ramming] (см. также Оптимальное программирование) раздел математики, который «… изучает методы решения задач на нахождение экстремума функций (показателя качества решения) при ограничениях в форме уравнений и… …   Экономико-математический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математики, посвященный теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами или неравенствами). Если изучаемая функция линейна (1 й степени) и задана на… …   Большой Энциклопедический словарь

  • математическое программирование — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN mathematical programming …   Справочник технического переводчика

  • математическое программирование — раздел математики, посвящённый теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами или неравенствами). Если изучаемая функция линейна (1 й степени) и задана на… …   Энциклопедический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). М. п.… …   Математическая энциклопедия

  • Математическое программирование — Метод исследования операций, при помощи которого решаются проблемы, связанные с тем, что оптимальная стоимость стандартно является предметом определенных ограничений. Математическое программирование включает в себя линейное, квадратичное и… …   Инвестиционный словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — оптимальное программирование, матем. дисциплина, разрабатывающая теорию и методы нахождения экстрем. значений ф ций мн. переменных в нек рой области (в т. ч. на границе области). Осн. особенность М. п. наличие неравенств среди ограничений,… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математики, посвящённый теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых нек рыми ограничениями (равенствами или неравенствами). Если изучаемая функция линейна (1 й степени) и задана на множестве …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Программирование математическое — Математическое программирование  математическая дисциплина, изучающая теорию и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах конечномерного векторного пространства, определяемых линейными и нелинейными ограничениями… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Математическое программирование» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»