Логические операции

        логические связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов (См. Логика предикатов), содержащие переменные (См. Переменная) и обращающиеся в высказывания при замене последних какими-либо конкретными их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно разделить на две основные группы: Кванторы и пропозициональные (сентенциональные) связки. Кванторы играют для формализованных языков математической логики ту же роль, которую играют для естественного языка т. н. «количественные» («кванторные») слова: «все», «любой», «некоторый», «существует», «единственный», «не более (менее) чем», количественные числительные и т. п. Характерной особенностью кванторов является — в случае нефиктивного их применения — понижение числа свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению, содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению, содержащему n — 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной) преобразует в высказывание.

         Пропозициональные связки (в отличие от кванторов, введение которых знаменует переход к логике предикатов) употребляются уже в самой элементарной части логики — в логике высказываний (См. Логика высказываний). В формализованных логических и логико-математических языках они выполняют функции, вполне аналогичные функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений в естественных языках. Так, отрицание ⌉ истолковывается как частица «не», конъюнкция & истолковывается как союз «и», дизъюнкция ﹀ — как (неразделительное) «или», импликация ⊃ — как оборот «если..., то...», эквиваленция Логические операции — как оборот «тогда и только тогда, когда» и т. п. При этом, однако, соответствие между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно. Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь два «истинностных значения»: «истину» («и») и «ложь» («л»), так что пропозициональные Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие некоторую область из двух элементов в себя; поэтому число различных n-местных (т. е. от n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений — оно равно 2ⁿ. Во-вторых, в формализованных языках математической логики игнорируются любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме тех, что непосредственно определяют истинностное значение получающегося сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются подчас и такие связки, содержательные аналоги которых в обычном языке, как правило, не имеют специальных наименований; таков, например, «штрих Шеффера» ∣ в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех

        

        --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        |        | Тождественная | Тождественная | P | Отррицание | q | Отрицание | Конъюнкция | Антиконъюнкция | Дизъюнкция | Антидизъюнкция | Эквиваленция | Антиэквиваленция | Импликация | Антиимпликация | Обратная    | Обратная           |

        |        | истина              | ложь                 |    | p                 |   | q               |                    | (штрих                |                    |                           |                       |                              |                    |                           | импликация | антиимпликация |

        |        |                         |                         |    |                    |   |                  |                    | Шеффера)         |                    |                           |                       |                              |                    |                           |                   |                          |

        |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | p | q | и                      | л                      | p | ⌉ p               | q | ⌉ q             | p&q             | P)q                     | p∨q              | p   | p  | p⊃q             | p  | p⊂q             | p⊄q                   |

        |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | и | и | и                      | л                      | и | л                 | и | л               | и                 | л                        | и                 | л                        | и                    | л                           | и                 | л                        | и                 | л                       |

        |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | и | л | и                      | л                      | и | л                 | л | и               | л                 | и                        | и                 | л                        | л                    | и                           | л                 | и                        | и                 | л                       |

        |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | л | и | и                      | л                      | л | и                 | и | л               | л                 | и                        | и                 | л                        | л                    | и                           | и                 | л                        | л                 | и                       |

        |------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

        | л | л | и                      | л                      | л | и                 | л | и               | л                 | и                        | л                 | и                        | и                    | л                           | и                 | л                        | и                 | л                       |

        --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

         Поскольку в таблице сведены все мыслимые двуместные Л. о., соответствующие всевозможным «четырехбуквенным словам» из «и» и «л», записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что среди этих 17 Л. о. есть и «вырожденные» случаи: первые две «связки» вообще не зависят ни от каких «аргументов» — это константы «и» и «л» (понятно, что таких «нульместных» связок имеется ровно Изоморфизм) интерпретирована в терминах логики классов (См. Логика классов), для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.

        

         Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15.

         Ю. А. Гастев.