Линии второго порядка это:

Линии второго порядка
        плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени
         a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0. (*)
         Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую Л. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса начала и поворота системы координат на некоторый угол к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс линий. Именно,
         нераспадающиеся линии:
        
        
         y2 = 2px — параболы,
        
         распадающиеся линии:
        — пары пересекающихся прямых,
         — пары пересекающихся прямых,
        — пары мнимых пересекающихся прямых,
         — пары мнимых пересекающихся прямых,
         x2 - а2 = 0 — пары параллельных прямых,
         x2 + а2 = 0 — пары мнимых параллельных прямых,
         x2 = 0 — пары совпадающих параллельных прямых.
         Исследование вида Л. в. п. может быть проведено без приведения общего уравнения к каноническому виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. — выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:
        
         S = a11 + a22, (aij = aji).
         Так, например, эллипсы, как нераспадающиеся линии, характеризуются тем, что для них Δ ≠ 0; положительное значение инварианта δ выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол δ < 0, для парабол δ = 0). Различить случаи действительного или мнимого эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Δ и S: если Δ и S разных знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Δ и S одного знака.
         Три основные инварианта Δ, δ и S определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения (См. Движение) евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Δ, δ и S двух линий равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически эквивалентны).
         Существуют классификации Л. в. п. с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей, чем группа движений, — группы аффинных преобразований (См. Аффинные преобразования) — эквивалентными являются любые две линии, определяемые уравнениями одного канонического вида. Например, две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация с точки зрения проективной геометрии (См. Проективная геометрия), в которой бесконечно удалённые элементы не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы, гиперболы и параболы образуют один проективный класс — класс действительных овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух мнимых точках, гипербола — в двух различных действительных точках, парабола касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности Л. в. п. Именно,
         невырождающиеся линии
         (x1, x2, x3 — однородные координаты):
         x12 + x22 — x32 = 0 — действительный овал,
         x12 + x22 + x32 = 0 — мнимый овал,
         вырождающиеся линии:
         x12 — x22 = 0 — пара действительных прямых,
         x12 + x22 = 0 — пара мнимых прямых,
         x12 = 0 — пара совпадающих действительных прямых.
         Кроме аналитического способа определения Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Например, Эллипс, Гипербола и Парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью — Конические сечения.
        
         Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.
         А. Б. Иванов.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Линии второго порядка" в других словарях:

  • ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы …   Большой Энциклопедический словарь

  • линии второго порядка — плоские линии, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2 й степени. Среди линий второго порядка  эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы. * * * ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА,… …   Энциклопедический словарь

  • ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоские линии, прямоуг. координаты точек к рых удовлетворяют алгебр. ур нию 2 й степени. Среди Л. в. п. эллипсы (в частности, окружности), гиперболы, параболы …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… …   Математическая энциклопедия

  • ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА — множество точек 3 мерного действительного (или комплексноро) пространства, координаты к рых в декартовой системе удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени (*) Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, в таких… …   Математическая энциклопедия

  • Ветвь кривой линии — Слово это, весьма часто употребляемое в геометрии кривых линий, имеет не вполне определенное значение. Когда это слово применяется к незамкнутым и неразветвляющимся кривым линиям, то под ветвью кривой подразумевается каждая непрерывная отдельная… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Сопряжённые диаметры —         линии второго порядка, два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды этой кривой, параллельные другому. С. д. играют важную роль в общей теории линий второго порядка. При параллельном проектировании эллипса в окружность его С. д.… …   Большая советская энциклопедия

  • Конические сечения —         линии, которые получаются сечением прямого кругового Конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов:          1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия… …   Большая советская энциклопедия

  • КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — линии, к рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения… …   Математическая энциклопедия

  • Аналитическая геометрия —         раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Линии второго порядка» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»