Линейные дифференциальные уравнения это:

Линейные дифференциальные уравнения
        дифференциальные уравнения вида
         y(n) + p1(x) у(n-1) + ... + pn(x)y = f(x), (1)
         где у = y(x) — искомая функция, y(n), у(n-1),..., y' — её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y0 = y0(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk(x) выражается формулой:
         y0 = C1y1(x) + С2у2(х) + ... + Cnyn(x),
         где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные и y1(x), у2(х),..., yn(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (Вронскиана):
        
         (2)
         Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:
         y = y0+Y,
         где y0 = y0(x) — общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:
        ,
        ,
         где yk(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wk(x) — алгебраическое дополнение элемента yk(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).
         Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk(x) = ak (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:
        
         где αk ± iβk (k = 1, 2, ..., m;
         λn + a1λn-1 + ... +an = 0,
         nk — кратности этих корней и Cks, Dks — произвольные постоянные.
         Пример. Для Л. д. у. y’’’ + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: λ3 + 1 = 0. Его корнями являются числа:
         λ1 = -1; λ2 = 3 = Следовательно, общее решение этого уравнения таково:
         Следовательно, общее решение этого уравнения таково:
        .
        .
         Системы Л. д. у. имеют вид:
        
         (j = 1, 2, ..., n).
         Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все fj(x) ≡ 0] даётся формулами:
        
        
         (j = 1, 2, ..., n)
         где yj1, yj2, ..., yjn — линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ∣yjk(x)∣ ≠ 0 хотя бы в одной точке).
         В случае постоянных коэффициентов pjk(x) = ajk частные решения однородной системы следует искать в виде:
        
         (j = 1, 2, ..., n),
         где Ajs — неопределённые коэффициенты, a λk — корни характеристического уравнения
        
        
         и mk — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц (См. Нормальная форма матриц)].
         Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.
        
         Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Линейные дифференциальные уравнения" в других словарях:

  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения         уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения         уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом —         уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения)). Примерами могут… …   Большая советская энциклопедия

  • Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы — Линейное однородное уравнение первого порядка y + p(x)y = 0 Общ …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с… …   Энциклопедия Кольера

  • Дифференциальные уравнения в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ)  дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — система бесконечного порядка бесконечная совокупность дифференциальных уравнений содержащая бесконечное множество неизвестных функций xk(t), k=1,2, . . ., и их производные. Решением такой системы наз. множество функций {xk(t)}, обращающих все… …   Математическая энциклопедия

  • Интегро-дифференциальные уравнения — Интегро дифференциальные уравнения  класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала. где называется внешним дифференциальным оператором, а …   Википедия

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения — (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида , где неизвестная функция (возможно, вектор функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число… …   Википедия

  • Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка  класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Линейные дифференциальные уравнения» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»