Линейное уравнение

Линейное уравнение
        уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).
         Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:
         ax = b;
         решением его при а 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:
        (1)
         (1)
         где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:
        ,
        ,
        ;
        ;
         здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.
         Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:
        (2)
         (2)
         здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами. Если определитель D = ∣aij∣ системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное xk равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.
         Если все bi = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ≠ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xk = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:
        
         Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:
         x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,
         где Dn — умноженный на ( — 1)k определитель, полученный из матрицы (См. Матрица) коэффициентов aij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей Di отличен от 0).
         Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
         Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:
        (4)
         (4)
         Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц
        и
         и
        
         Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля Минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.
         Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.
         Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.
         Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы (См. Линейный оператор) в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например Линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.
         Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнений).
        
         Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

См. также в других словарях:

  • Линейное уравнение — Линейное уравнение  это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить в общей форме: в канонической форме: Содержание …   Википедия

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где А линейный оператор, действующий из векторного пространства Xв векторное пространство В, х неизвестный элемент из X, b заданный элемент из В(свободный член). Если 6=0, то Л. у. наз. однородным. Решением Л. у. наз. элемент… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax?b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных …   Большой Энциклопедический словарь

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — (linear equation) Уравнение, в котором аргументы появляются только в первой степени и не более. Следовательно, например, ах+by+с=0 является линейным уравнением; но ах2+by+с=0 линейным не является. График линейного уравнения, содержащего лишь две… …   Экономический словарь

  • линейное уравнение — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1 й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax = b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами… …   Энциклопедический словарь

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое алгебраическое уравнение 1 й степени по совокупности неизвестных, т. е. уравнение вида Всякая система Л. у. может быть записана в виде где ти n натуральные числа; а ij (i=1, 2, . . ., т, j=1, 2, . . ., n) наз. коэффициентами при… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебр, ур ние, в к рое неизвестное входит в 1 й степени и в к ром отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Л. у. с одним неизвестным имеет вид: ах = b. В случае неск. неизвестных имеют дело с системами Л. у. Понятие линейности… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебр. ур ние, в к рое неизвестные входят в 1 й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Л. у. с одним неизвестным имеет вид: ах = b. В случае неск. неизвестных имеют дело с системами Л. у. Теория Л. у. получила развитие …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ — уравнение вида где A0(t), A1(t).при каждом t линейные операторы в банаховом пространстве Е, g(t) заданная, a u(t) искомая функции со значениями в Е;производная ипонимается как предел по норме Еразностного отношения. 1. Линейное дифференциальное… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение Клейна — Гордона — Уравнение Клейна  Гордона (Уравнение Клейна  Гордона  Фока): или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ): где …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Линейное уравнение» >>